Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38170 / 29338
↖ ↑ ↗
← N 18.510865°
E 29.674072°		 ← 579.25 m → N 18.510865°
E 29.679566°		 →
↑
579.19 m
↓
↑
579.19 m
↓
N 18.505657°
E 29.674072°		 ← 579.27 m →
335 498 m²		 N 18.505657°
E 29.679566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582435607910156 y=0.447669982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582435607910156 × 216)
    floor (0.582435607910156 × 65536)
    floor (38170.5)     		tx = 38170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447669982910156 × 216)
    floor (0.447669982910156 × 65536)
    floor (29338.5)     		ty = 29338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38170 / 29338 ti = "16/38170/29338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38170/29338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38170 ÷ 216
    38170 ÷ 65536     		x = 0.582427978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29338 ÷ 216
    29338 ÷ 65536     		y = 0.447662353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582427978515625 × 2 - 1) × π
    0.16485595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51791026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447662353515625 × 2 - 1) × π
    0.10467529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.328847131393585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51791026} λ = 0.51791026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.328847131393585))-π/2
    2×atan(1.38936544899289)-π/2
    2×0.946935940402072-π/2
    1.89387188080414-1.57079632675     		φ = 0.32307555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51791026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.674072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32307555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.510865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38170 KachelY 29338 0.51791026 0.32307555 29.674072 18.510865
    Oben rechts KachelX + 1 38171 KachelY 29338 0.51800614 0.32307555 29.679566 18.510865
    Unten links KachelX 38170 KachelY + 1 29339 0.51791026 0.32298464 29.674072 18.505657
    Unten rechts KachelX + 1 38171 KachelY + 1 29339 0.51800614 0.32298464 29.679566 18.505657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32307555-0.32298464) × R
    9.09099999999996e-05 × 6371000     		dl = 579.187609999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32307555-0.32298464) × R
    9.09099999999996e-05 × 6371000     		dr = 579.187609999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51791026-0.51800614) × cos(0.32307555) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.948263465013073 × 6371000     		do = 579.248141033455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51791026-0.51800614) × cos(0.32298464) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.94829232360943 × 6371000     		du = 579.26576934975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32307555)-sin(0.32298464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948263465013073-0.94829232360943)×R²
    abs(0.51800614-0.51791026)×2.88585963564847e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.88585963564847e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.88585963564847e-05×40589641000000     		ar = 335498.451684435m²