Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3817 / 2527
↖ ↑ ↗
← N 56.583692°
W 12.260742°		 ← 2 691.08 m → N 56.583692°
W 12.216797°		 →
↑
2 691.94 m
↓
↑
2 691.94 m
↓
N 56.559482°
W 12.260742°		 ← 2 692.80 m →
7 246 546 m²		 N 56.559482°
W 12.216797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46600341796875 y=0.30853271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46600341796875 × 213)
    floor (0.46600341796875 × 8192)
    floor (3817.5)     		tx = 3817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30853271484375 × 213)
    floor (0.30853271484375 × 8192)
    floor (2527.5)     		ty = 2527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3817 / 2527 ti = "13/3817/2527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3817/2527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3817 ÷ 213
    3817 ÷ 8192     		x = 0.4659423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2527 ÷ 213
    2527 ÷ 8192     		y = 0.3084716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4659423828125 × 2 - 1) × π
    -0.068115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21399032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3084716796875 × 2 - 1) × π
    0.383056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20340792806189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21399032} λ = -0.21399032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20340792806189))-π/2
    2×atan(3.33145094416171)-π/2
    2×1.2791840251229-π/2
    2.55836805024581-1.57079632675     		φ = 0.98757172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21399032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.260742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98757172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.583692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3817 KachelY 2527 -0.21399032 0.98757172 -12.260742 56.583692
    Oben rechts KachelX + 1 3818 KachelY 2527 -0.21322333 0.98757172 -12.216797 56.583692
    Unten links KachelX 3817 KachelY + 1 2528 -0.21399032 0.98714919 -12.260742 56.559482
    Unten rechts KachelX + 1 3818 KachelY + 1 2528 -0.21322333 0.98714919 -12.216797 56.559482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98757172-0.98714919) × R
    0.000422530000000032 × 6371000     		dl = 2691.9386300002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98757172-0.98714919) × R
    0.000422530000000032 × 6371000     		dr = 2691.9386300002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21399032--0.21322333) × cos(0.98757172) × R
    0.000766990000000023 × 0.550718346063712 × 6371000     		do = 2691.08150272031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21399032--0.21322333) × cos(0.98714919) × R
    0.000766990000000023 × 0.55107097894133 × 6371000     		du = 2692.80464091062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98757172)-sin(0.98714919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550718346063712-0.55107097894133)×R²
    abs(-0.21322333--0.21399032)×0.00035263287761822×R²
    0.000766990000000023×0.00035263287761822×6371000²
    0.000766990000000023×0.00035263287761822×40589641000000     		ar = 7246545.65259175m²