Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38169 / 29351
↖ ↑ ↗
← N 18.443136°
E 29.668579°		 ← 579.42 m → N 18.443136°
E 29.674072°		 →
↑
579.44 m
↓
↑
579.44 m
↓
N 18.437925°
E 29.668579°		 ← 579.43 m →
335 744 m²		 N 18.437925°
E 29.674072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582420349121094 y=0.447868347167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582420349121094 × 216)
    floor (0.582420349121094 × 65536)
    floor (38169.5)     		tx = 38169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447868347167969 × 216)
    floor (0.447868347167969 × 65536)
    floor (29351.5)     		ty = 29351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38169 / 29351 ti = "16/38169/29351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38169/29351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38169 ÷ 216
    38169 ÷ 65536     		x = 0.582412719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29351 ÷ 216
    29351 ÷ 65536     		y = 0.447860717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582412719726562 × 2 - 1) × π
    0.164825439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51781439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447860717773438 × 2 - 1) × π
    0.104278564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.327600772003464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51781439} λ = 0.51781439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.327600772003464))-π/2
    2×atan(1.38763487899933)-π/2
    2×0.946344885070995-π/2
    1.89268977014199-1.57079632675     		φ = 0.32189344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51781439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.668579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32189344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.443136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38169 KachelY 29351 0.51781439 0.32189344 29.668579 18.443136
    Oben rechts KachelX + 1 38170 KachelY 29351 0.51791026 0.32189344 29.674072 18.443136
    Unten links KachelX 38169 KachelY + 1 29352 0.51781439 0.32180249 29.668579 18.437925
    Unten rechts KachelX + 1 38170 KachelY + 1 29352 0.51791026 0.32180249 29.674072 18.437925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32189344-0.32180249) × R
    9.09499999999785e-05 × 6371000     		dl = 579.442449999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32189344-0.32180249) × R
    9.09499999999785e-05 × 6371000     		dr = 579.442449999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51781439-0.51791026) × cos(0.32189344) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948638103971222 × 6371000     		do = 579.416552061598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51781439-0.51791026) × cos(0.32180249) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94866687329125 × 6371000     		du = 579.434124010422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32189344)-sin(0.32180249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948638103971222-0.94866687329125)×R²
    abs(0.51791026-0.51781439)×2.87693200272665e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.87693200272665e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.87693200272665e-05×40589641000000     		ar = 335743.637695079m²