Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38167 / 29335
↖ ↑ ↗
← N 18.526492°
E 29.657593°		 ← 579.20 m → N 18.526492°
E 29.663086°		 →
↑
579.12 m
↓
↑
579.12 m
↓
N 18.521284°
E 29.657593°		 ← 579.21 m →
335 431 m²		 N 18.521284°
E 29.663086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582389831542969 y=0.447624206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582389831542969 × 216)
    floor (0.582389831542969 × 65536)
    floor (38167.5)     		tx = 38167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447624206542969 × 216)
    floor (0.447624206542969 × 65536)
    floor (29335.5)     		ty = 29335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38167 / 29335 ti = "16/38167/29335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38167/29335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38167 ÷ 216
    38167 ÷ 65536     		x = 0.582382202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29335 ÷ 216
    29335 ÷ 65536     		y = 0.447616577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582382202148438 × 2 - 1) × π
    0.164764404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51762264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447616577148438 × 2 - 1) × π
    0.104766845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.329134752791306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51762264} λ = 0.51762264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.329134752791306))-π/2
    2×atan(1.38976511769915)-π/2
    2×0.947072304605639-π/2
    1.89414460921128-1.57079632675     		φ = 0.32334828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51762264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.657593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32334828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.526492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38167 KachelY 29335 0.51762264 0.32334828 29.657593 18.526492
    Oben rechts KachelX + 1 38168 KachelY 29335 0.51771852 0.32334828 29.663086 18.526492
    Unten links KachelX 38167 KachelY + 1 29336 0.51762264 0.32325738 29.657593 18.521284
    Unten rechts KachelX + 1 38168 KachelY + 1 29336 0.51771852 0.32325738 29.663086 18.521284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32334828-0.32325738) × R
    9.09000000000049e-05 × 6371000     		dl = 579.123900000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32334828-0.32325738) × R
    9.09000000000049e-05 × 6371000     		dr = 579.123900000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51762264-0.51771852) × cos(0.32334828) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.948176842202689 × 6371000     		do = 579.195227360859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51762264-0.51771852) × cos(0.32325738) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.948205721132895 × 6371000     		du = 579.212868098116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32334828)-sin(0.32325738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948176842202689-0.948205721132895)×R²
    abs(0.51771852-0.51762264)×2.88789302064218e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.88789302064218e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.88789302064218e-05×40589641000000     		ar = 335430.907247986m²