Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38164 / 29332
↖ ↑ ↗
← N 18.542117°
E 29.641113°		 ← 579.08 m → N 18.542117°
E 29.646606°		 →
↑
579.12 m
↓
↑
579.12 m
↓
N 18.536909°
E 29.641113°		 ← 579.10 m →
335 365 m²		 N 18.536909°
E 29.646606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582344055175781 y=0.447578430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582344055175781 × 216)
    floor (0.582344055175781 × 65536)
    floor (38164.5)     		tx = 38164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447578430175781 × 216)
    floor (0.447578430175781 × 65536)
    floor (29332.5)     		ty = 29332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38164 / 29332 ti = "16/38164/29332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38164/29332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38164 ÷ 216
    38164 ÷ 65536     		x = 0.58233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29332 ÷ 216
    29332 ÷ 65536     		y = 0.44757080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58233642578125 × 2 - 1) × π
    0.1646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51733502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44757080078125 × 2 - 1) × π
    0.1048583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.329422374189026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51733502} λ = 0.51733502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.329422374189026))-π/2
    2×atan(1.39016490137522)-π/2
    2×0.94720865634749-π/2
    1.89441731269498-1.57079632675     		φ = 0.32362099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51733502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.641113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32362099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.542117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38164 KachelY 29332 0.51733502 0.32362099 29.641113 18.542117
    Oben rechts KachelX + 1 38165 KachelY 29332 0.51743089 0.32362099 29.646606 18.542117
    Unten links KachelX 38164 KachelY + 1 29333 0.51733502 0.32353009 29.641113 18.536909
    Unten rechts KachelX + 1 38165 KachelY + 1 29333 0.51743089 0.32353009 29.646606 18.536909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32362099-0.32353009) × R
    9.09000000000049e-05 × 6371000     		dl = 579.123900000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32362099-0.32353009) × R
    9.09000000000049e-05 × 6371000     		dr = 579.123900000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51733502-0.51743089) × cos(0.32362099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948090155225377 × 6371000     		do = 579.081871669049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51733502-0.51743089) × cos(0.32353009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948119057659545 × 6371000     		du = 579.099524922362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32362099)-sin(0.32353009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948090155225377-0.948119057659545)×R²
    abs(0.51743089-0.51733502)×2.89024341673105e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89024341673105e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89024341673105e-05×40589641000000     		ar = 335365.263881666m²