Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38164 / 29306
↖ ↑ ↗
← N 18.677471°
E 29.641113°		 ← 578.62 m → N 18.677471°
E 29.646606°		 →
↑
578.68 m
↓
↑
578.68 m
↓
N 18.672267°
E 29.641113°		 ← 578.64 m →
334 841 m²		 N 18.672267°
E 29.646606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582344055175781 y=0.447181701660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582344055175781 × 216)
    floor (0.582344055175781 × 65536)
    floor (38164.5)     		tx = 38164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447181701660156 × 216)
    floor (0.447181701660156 × 65536)
    floor (29306.5)     		ty = 29306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38164 / 29306 ti = "16/38164/29306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38164/29306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38164 ÷ 216
    38164 ÷ 65536     		x = 0.58233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29306 ÷ 216
    29306 ÷ 65536     		y = 0.447174072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58233642578125 × 2 - 1) × π
    0.1646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51733502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447174072265625 × 2 - 1) × π
    0.10565185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.331915092969269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51733502} λ = 0.51733502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.331915092969269))-π/2
    2×atan(1.39363451412036)-π/2
    2×0.948389848096899-π/2
    1.8967796961938-1.57079632675     		φ = 0.32598337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51733502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.641113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32598337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.677471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38164 KachelY 29306 0.51733502 0.32598337 29.641113 18.677471
    Oben rechts KachelX + 1 38165 KachelY 29306 0.51743089 0.32598337 29.646606 18.677471
    Unten links KachelX 38164 KachelY + 1 29307 0.51733502 0.32589254 29.641113 18.672267
    Unten rechts KachelX + 1 38165 KachelY + 1 29307 0.51743089 0.32589254 29.646606 18.672267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32598337-0.32589254) × R
    9.08299999999862e-05 × 6371000     		dl = 578.677929999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32598337-0.32589254) × R
    9.08299999999862e-05 × 6371000     		dr = 578.677929999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51733502-0.51743089) × cos(0.32598337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94733626958774 × 6371000     		do = 578.621407541602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51733502-0.51743089) × cos(0.32589254) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947365353126565 × 6371000     		du = 578.639171411424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32598337)-sin(0.32589254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94733626958774-0.947365353126565)×R²
    abs(0.51743089-0.51733502)×2.90835388248034e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90835388248034e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90835388248034e-05×40589641000000     		ar = 334840.578379671m²