Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38163 / 30009
↖ ↑ ↗
← N 14.981933°
E 29.635620°		 ← 590.03 m → N 14.981933°
E 29.641113°		 →
↑
590.02 m
↓
↑
590.02 m
↓
N 14.976627°
E 29.635620°		 ← 590.04 m →
348 130 m²		 N 14.976627°
E 29.641113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582328796386719 y=0.457908630371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582328796386719 × 216)
    floor (0.582328796386719 × 65536)
    floor (38163.5)     		tx = 38163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457908630371094 × 216)
    floor (0.457908630371094 × 65536)
    floor (30009.5)     		ty = 30009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38163 / 30009 ti = "16/38163/30009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38163/30009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38163 ÷ 216
    38163 ÷ 65536     		x = 0.582321166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30009 ÷ 216
    30009 ÷ 65536     		y = 0.457901000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582321166992188 × 2 - 1) × π
    0.164642333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51723915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457901000976562 × 2 - 1) × π
    0.084197998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.26451581210347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51723915} λ = 0.51723915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.26451581210347))-π/2
    2×atan(1.3028000230381)-π/2
    2×0.916140194323296-π/2
    1.83228038864659-1.57079632675     		φ = 0.26148406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51723915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.635620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26148406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.981933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38163 KachelY 30009 0.51723915 0.26148406 29.635620 14.981933
    Oben rechts KachelX + 1 38164 KachelY 30009 0.51733502 0.26148406 29.641113 14.981933
    Unten links KachelX 38163 KachelY + 1 30010 0.51723915 0.26139145 29.635620 14.976627
    Unten rechts KachelX + 1 38164 KachelY + 1 30010 0.51733502 0.26139145 29.641113 14.976627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26148406-0.26139145) × R
    9.2609999999993e-05 × 6371000     		dl = 590.018309999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26148406-0.26139145) × R
    9.2609999999993e-05 × 6371000     		dr = 590.018309999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51723915-0.51733502) × cos(0.26148406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966007391105801 × 6371000     		do = 590.025500217017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51723915-0.51733502) × cos(0.26139145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.966031327986351 × 6371000     		du = 590.040120570909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26148406)-sin(0.26139145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966007391105801-0.966031327986351)×R²
    abs(0.51733502-0.51723915)×2.3936880550024e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.3936880550024e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.3936880550024e-05×40589641000000     		ar = 348130.161882171m²