Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38162 / 29334
↖ ↑ ↗
← N 18.531701°
E 29.630127°		 ← 579.18 m → N 18.531701°
E 29.635620°		 →
↑
579.19 m
↓
↑
579.19 m
↓
N 18.526492°
E 29.630127°		 ← 579.20 m →
335 458 m²		 N 18.526492°
E 29.635620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582313537597656 y=0.447608947753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582313537597656 × 216)
    floor (0.582313537597656 × 65536)
    floor (38162.5)     		tx = 38162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447608947753906 × 216)
    floor (0.447608947753906 × 65536)
    floor (29334.5)     		ty = 29334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38162 / 29334 ti = "16/38162/29334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38162/29334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38162 ÷ 216
    38162 ÷ 65536     		x = 0.582305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29334 ÷ 216
    29334 ÷ 65536     		y = 0.447601318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582305908203125 × 2 - 1) × π
    0.16461181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51714327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447601318359375 × 2 - 1) × π
    0.10479736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.329230626590546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51714327} λ = 0.51714327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.329230626590546))-π/2
    2×atan(1.38989836614845)-π/2
    2×0.947117756571336-π/2
    1.89423551314267-1.57079632675     		φ = 0.32343919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51714327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.630127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32343919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.531701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38162 KachelY 29334 0.51714327 0.32343919 29.630127 18.531701
    Oben rechts KachelX + 1 38163 KachelY 29334 0.51723915 0.32343919 29.635620 18.531701
    Unten links KachelX 38162 KachelY + 1 29335 0.51714327 0.32334828 29.630127 18.526492
    Unten rechts KachelX + 1 38163 KachelY + 1 29335 0.51723915 0.32334828 29.635620 18.526492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32343919-0.32334828) × R
    9.09099999999996e-05 × 6371000     		dl = 579.187609999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32343919-0.32334828) × R
    9.09099999999996e-05 × 6371000     		dr = 579.187609999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51714327-0.51723915) × cos(0.32343919) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.948147952259584 × 6371000     		do = 579.177579896357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51714327-0.51723915) × cos(0.32334828) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.948176842202689 × 6371000     		du = 579.195227360859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32343919)-sin(0.32334828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948147952259584-0.948176842202689)×R²
    abs(0.51723915-0.51714327)×2.88899431043488e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.88899431043488e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.88899431043488e-05×40589641000000     		ar = 335457.589093066m²