Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38161 / 29491
↖ ↑ ↗
← N 17.712061°
E 29.624634°		 ← 581.83 m → N 17.712061°
E 29.630127°		 →
↑
581.86 m
↓
↑
581.86 m
↓
N 17.706828°
E 29.624634°		 ← 581.85 m →
338 553 m²		 N 17.706828°
E 29.630127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582298278808594 y=0.450004577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582298278808594 × 216)
    floor (0.582298278808594 × 65536)
    floor (38161.5)     		tx = 38161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450004577636719 × 216)
    floor (0.450004577636719 × 65536)
    floor (29491.5)     		ty = 29491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38161 / 29491 ti = "16/38161/29491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38161/29491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38161 ÷ 216
    38161 ÷ 65536     		x = 0.582290649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29491 ÷ 216
    29491 ÷ 65536     		y = 0.449996948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582290649414062 × 2 - 1) × π
    0.164581298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51704740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449996948242188 × 2 - 1) × π
    0.100006103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.314178440109848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51704740} λ = 0.51704740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.314178440109848))-π/2
    2×atan(1.36913402317695)-π/2
    2×0.939965054052345-π/2
    1.87993010810469-1.57079632675     		φ = 0.30913378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51704740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.624634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30913378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.712061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38161 KachelY 29491 0.51704740 0.30913378 29.624634 17.712061
    Oben rechts KachelX + 1 38162 KachelY 29491 0.51714327 0.30913378 29.630127 17.712061
    Unten links KachelX 38161 KachelY + 1 29492 0.51704740 0.30904245 29.624634 17.706828
    Unten rechts KachelX + 1 38162 KachelY + 1 29492 0.51714327 0.30904245 29.630127 17.706828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30913378-0.30904245) × R
    9.13300000000006e-05 × 6371000     		dl = 581.863430000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30913378-0.30904245) × R
    9.13300000000006e-05 × 6371000     		dr = 581.863430000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51704740-0.51714327) × cos(0.30913378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952597460459151 × 6371000     		do = 581.834878581495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51704740-0.51714327) × cos(0.30904245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.952625242140155 × 6371000     		du = 581.851847292483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30913378)-sin(0.30904245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952597460459151-0.952625242140155)×R²
    abs(0.51714327-0.51704740)×2.77816810043685e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.77816810043685e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.77816810043685e-05×40589641000000     		ar = 338553.375116619m²