Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38161 / 29327
↖ ↑ ↗
← N 18.568155°
E 29.624634°		 ← 578.99 m → N 18.568155°
E 29.630127°		 →
↑
579.06 m
↓
↑
579.06 m
↓
N 18.562947°
E 29.624634°		 ← 579.01 m →
335 277 m²		 N 18.562947°
E 29.630127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582298278808594 y=0.447502136230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582298278808594 × 216)
    floor (0.582298278808594 × 65536)
    floor (38161.5)     		tx = 38161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447502136230469 × 216)
    floor (0.447502136230469 × 65536)
    floor (29327.5)     		ty = 29327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38161 / 29327 ti = "16/38161/29327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38161/29327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38161 ÷ 216
    38161 ÷ 65536     		x = 0.582290649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29327 ÷ 216
    29327 ÷ 65536     		y = 0.447494506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582290649414062 × 2 - 1) × π
    0.164581298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51704740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447494506835938 × 2 - 1) × π
    0.105010986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.329901743185226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51704740} λ = 0.51704740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.329901743185226))-π/2
    2×atan(1.39083146308029)-π/2
    2×0.94743588153343-π/2
    1.89487176306686-1.57079632675     		φ = 0.32407544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51704740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.624634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32407544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.568155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38161 KachelY 29327 0.51704740 0.32407544 29.624634 18.568155
    Oben rechts KachelX + 1 38162 KachelY 29327 0.51714327 0.32407544 29.630127 18.568155
    Unten links KachelX 38161 KachelY + 1 29328 0.51704740 0.32398455 29.624634 18.562947
    Unten rechts KachelX + 1 38162 KachelY + 1 29328 0.51714327 0.32398455 29.630127 18.562947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32407544-0.32398455) × R
    9.08900000000101e-05 × 6371000     		dl = 579.060190000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32407544-0.32398455) × R
    9.08900000000101e-05 × 6371000     		dr = 579.060190000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51704740-0.51714327) × cos(0.32407544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947945541472613 × 6371000     		do = 578.993543357487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51704740-0.51714327) × cos(0.32398455) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947974479886063 × 6371000     		du = 579.011218586505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32407544)-sin(0.32398455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947945541472613-0.947974479886063)×R²
    abs(0.51714327-0.51704740)×2.89384134501969e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89384134501969e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89384134501969e-05×40589641000000     		ar = 335277.228966843m²