Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38160 / 30960
↖ ↑ ↗
← N  9.882275°
E 29.619141°		 ← 601.73 m → N  9.882275°
E 29.624634°		 →
↑
601.74 m
↓
↑
601.74 m
↓
N  9.876864°
E 29.619141°		 ← 601.74 m →
362 086 m²		 N  9.876864°
E 29.624634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582283020019531 y=0.472419738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582283020019531 × 216)
    floor (0.582283020019531 × 65536)
    floor (38160.5)     		tx = 38160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.472419738769531 × 216)
    floor (0.472419738769531 × 65536)
    floor (30960.5)     		ty = 30960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38160 / 30960 ti = "16/38160/30960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38160/30960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38160 ÷ 216
    38160 ÷ 65536     		x = 0.582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30960 ÷ 216
    30960 ÷ 65536     		y = 0.472412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.472412109375 × 2 - 1) × π
    0.05517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.173339829026123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51695153} λ = 0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.173339829026123))-π/2
    2×atan(1.18927018494986)-π/2
    2×0.871637285869758-π/2
    1.74327457173952-1.57079632675     		φ = 0.17247824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17247824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.882275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38160 KachelY 30960 0.51695153 0.17247824 29.619141 9.882275
    Oben rechts KachelX + 1 38161 KachelY 30960 0.51704740 0.17247824 29.624634 9.882275
    Unten links KachelX 38160 KachelY + 1 30961 0.51695153 0.17238379 29.619141 9.876864
    Unten rechts KachelX + 1 38161 KachelY + 1 30961 0.51704740 0.17238379 29.624634 9.876864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17247824-0.17238379) × R
    9.44499999999959e-05 × 6371000     		dl = 601.740949999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17247824-0.17238379) × R
    9.44499999999959e-05 × 6371000     		dr = 601.740949999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51695153-0.51704740) × cos(0.17247824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985162466305611 × 6371000     		do = 601.725185882491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51695153-0.51704740) × cos(0.17238379) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.985178671830528 × 6371000     		du = 601.735084018917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17247824)-sin(0.17238379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985162466305611-0.985178671830528)×R²
    abs(0.51704740-0.51695153)×1.62055249172122e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.62055249172122e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.62055249172122e-05×40589641000000     		ar = 362085.663318026m²