Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38160 / 29936
↖ ↑ ↗
← N 15.368950°
E 29.619141°		 ← 588.95 m → N 15.368950°
E 29.624634°		 →
↑
589 m
↓
↑
589 m
↓
N 15.363653°
E 29.619141°		 ← 588.96 m →
346 893 m²		 N 15.363653°
E 29.624634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582283020019531 y=0.456794738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582283020019531 × 216)
    floor (0.582283020019531 × 65536)
    floor (38160.5)     		tx = 38160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456794738769531 × 216)
    floor (0.456794738769531 × 65536)
    floor (29936.5)     		ty = 29936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38160 / 29936 ti = "16/38160/29936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38160/29936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38160 ÷ 216
    38160 ÷ 65536     		x = 0.582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29936 ÷ 216
    29936 ÷ 65536     		y = 0.456787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456787109375 × 2 - 1) × π
    0.08642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.271514599447998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51695153} λ = 0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.271514599447998))-π/2
    2×atan(1.31195002546284)-π/2
    2×0.919517552527993-π/2
    1.83903510505599-1.57079632675     		φ = 0.26823878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26823878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.368950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38160 KachelY 29936 0.51695153 0.26823878 29.619141 15.368950
    Oben rechts KachelX + 1 38161 KachelY 29936 0.51704740 0.26823878 29.624634 15.368950
    Unten links KachelX 38160 KachelY + 1 29937 0.51695153 0.26814633 29.619141 15.363653
    Unten rechts KachelX + 1 38161 KachelY + 1 29937 0.51704740 0.26814633 29.624634 15.363653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26823878-0.26814633) × R
    9.24500000000217e-05 × 6371000     		dl = 588.998950000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26823878-0.26814633) × R
    9.24500000000217e-05 × 6371000     		dr = 588.998950000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51695153-0.51704740) × cos(0.26823878) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964239174105847 × 6371000     		do = 588.945494898739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51695153-0.51704740) × cos(0.26814633) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9642636723425 × 6371000     		du = 588.960458122073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26823878)-sin(0.26814633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964239174105847-0.9642636723425)×R²
    abs(0.51704740-0.51695153)×2.44982366526258e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.44982366526258e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.44982366526258e-05×40589641000000     		ar = 346892.685011173m²