Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3816 / 2546
↖ ↑ ↗
← N 56.121060°
W 12.304687°		 ← 2 723.93 m → N 56.121060°
W 12.260742°		 →
↑
2 724.75 m
↓
↑
2 724.75 m
↓
N 56.096556°
W 12.304687°		 ← 2 725.66 m →
7 424 381 m²		 N 56.096556°
W 12.260742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46588134765625 y=0.31085205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46588134765625 × 213)
    floor (0.46588134765625 × 8192)
    floor (3816.5)     		tx = 3816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31085205078125 × 213)
    floor (0.31085205078125 × 8192)
    floor (2546.5)     		ty = 2546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3816 / 2546 ti = "13/3816/2546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3816/2546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3816 ÷ 213
    3816 ÷ 8192     		x = 0.4658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2546 ÷ 213
    2546 ÷ 8192     		y = 0.310791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4658203125 × 2 - 1) × π
    -0.068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21475731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310791015625 × 2 - 1) × π
    0.37841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18883511057739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21475731} λ = -0.21475731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18883511057739))-π/2
    2×atan(3.28325435061861)-π/2
    2×1.27514680545183-π/2
    2.55029361090366-1.57079632675     		φ = 0.97949728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21475731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97949728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.121060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3816 KachelY 2546 -0.21475731 0.97949728 -12.304687 56.121060
    Oben rechts KachelX + 1 3817 KachelY 2546 -0.21399032 0.97949728 -12.260742 56.121060
    Unten links KachelX 3816 KachelY + 1 2547 -0.21475731 0.97906960 -12.304687 56.096556
    Unten rechts KachelX + 1 3817 KachelY + 1 2547 -0.21399032 0.97906960 -12.260742 56.096556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97949728-0.97906960) × R
    0.000427680000000041 × 6371000     		dl = 2724.74928000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97949728-0.97906960) × R
    0.000427680000000041 × 6371000     		dr = 2724.74928000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21475731--0.21399032) × cos(0.97949728) × R
    0.000766989999999995 × 0.557439983999297 × 6371000     		do = 2723.92674139025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21475731--0.21399032) × cos(0.97906960) × R
    0.000766989999999995 × 0.557795000316603 × 6371000     		du = 2725.66152624261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97949728)-sin(0.97906960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557439983999297-0.557795000316603)×R²
    abs(-0.21399032--0.21475731)×0.000355016317306389×R²
    0.000766989999999995×0.000355016317306389×6371000²
    0.000766989999999995×0.000355016317306389×40589641000000     		ar = 7424380.96743033m²