Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38159 / 29341
↖ ↑ ↗
← N 18.495238°
E 29.613647°		 ← 579.30 m → N 18.495238°
E 29.619141°		 →
↑
579.25 m
↓
↑
579.25 m
↓
N 18.490029°
E 29.613647°		 ← 579.32 m →
335 566 m²		 N 18.490029°
E 29.619141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582267761230469 y=0.447715759277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582267761230469 × 216)
    floor (0.582267761230469 × 65536)
    floor (38159.5)     		tx = 38159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447715759277344 × 216)
    floor (0.447715759277344 × 65536)
    floor (29341.5)     		ty = 29341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38159 / 29341 ti = "16/38159/29341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38159/29341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38159 ÷ 216
    38159 ÷ 65536     		x = 0.582260131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29341 ÷ 216
    29341 ÷ 65536     		y = 0.447708129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582260131835938 × 2 - 1) × π
    0.164520263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51685565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447708129882812 × 2 - 1) × π
    0.104583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.328559509995865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51685565} λ = 0.51685565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.328559509995865))-π/2
    2×atan(1.38896589522336)-π/2
    2×0.946799563745793-π/2
    1.89359912749159-1.57079632675     		φ = 0.32280280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51685565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.613647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32280280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.495238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38159 KachelY 29341 0.51685565 0.32280280 29.613647 18.495238
    Oben rechts KachelX + 1 38160 KachelY 29341 0.51695153 0.32280280 29.619141 18.495238
    Unten links KachelX 38159 KachelY + 1 29342 0.51685565 0.32271188 29.613647 18.490029
    Unten rechts KachelX + 1 38160 KachelY + 1 29342 0.51695153 0.32271188 29.619141 18.490029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32280280-0.32271188) × R
    9.09199999999943e-05 × 6371000     		dl = 579.251319999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32280280-0.32271188) × R
    9.09199999999943e-05 × 6371000     		dr = 579.251319999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51685565-0.51695153) × cos(0.32280280) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.948350023634571 × 6371000     		do = 579.301015495504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51685565-0.51695153) × cos(0.32271188) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.948378861888034 × 6371000     		du = 579.318631385312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32280280)-sin(0.32271188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948350023634571-0.948378861888034)×R²
    abs(0.51695153-0.51685565)×2.88382534630038e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.88382534630038e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.88382534630038e-05×40589641000000     		ar = 335565.980147972m²