Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38159 / 29329
↖ ↑ ↗
← N 18.557740°
E 29.613647°		 ← 579.09 m → N 18.557740°
E 29.619141°		 →
↑
579.06 m
↓
↑
579.06 m
↓
N 18.552532°
E 29.613647°		 ← 579.11 m →
335 333 m²		 N 18.552532°
E 29.619141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582267761230469 y=0.447532653808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582267761230469 × 216)
    floor (0.582267761230469 × 65536)
    floor (38159.5)     		tx = 38159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447532653808594 × 216)
    floor (0.447532653808594 × 65536)
    floor (29329.5)     		ty = 29329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38159 / 29329 ti = "16/38159/29329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38159/29329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38159 ÷ 216
    38159 ÷ 65536     		x = 0.582260131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29329 ÷ 216
    29329 ÷ 65536     		y = 0.447525024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582260131835938 × 2 - 1) × π
    0.164520263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51685565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447525024414062 × 2 - 1) × π
    0.104949951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.329709995586746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51685565} λ = 0.51685565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.329709995586746))-π/2
    2×atan(1.39056480005417)-π/2
    2×0.947344995618625-π/2
    1.89468999123725-1.57079632675     		φ = 0.32389366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51685565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.613647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32389366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.557740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38159 KachelY 29329 0.51685565 0.32389366 29.613647 18.557740
    Oben rechts KachelX + 1 38160 KachelY 29329 0.51695153 0.32389366 29.619141 18.557740
    Unten links KachelX 38159 KachelY + 1 29330 0.51685565 0.32380277 29.613647 18.552532
    Unten rechts KachelX + 1 38160 KachelY + 1 29330 0.51695153 0.32380277 29.619141 18.552532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32389366-0.32380277) × R
    9.08900000000101e-05 × 6371000     		dl = 579.060190000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32389366-0.32380277) × R
    9.08900000000101e-05 × 6371000     		dr = 579.060190000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51685565-0.51695153) × cos(0.32389366) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.948003410468303 × 6371000     		do = 579.089286329901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51685565-0.51695153) × cos(0.32380277) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.948032333219095 × 6371000     		du = 579.106953835028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32389366)-sin(0.32380277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948003410468303-0.948032333219095)×R²
    abs(0.51695153-0.51685565)×2.89227507918044e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.89227507918044e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.89227507918044e-05×40589641000000     		ar = 335332.667674388m²