Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38158 / 29380
↖ ↑ ↗
← N 18.291950°
E 29.608154°		 ← 579.92 m → N 18.291950°
E 29.613647°		 →
↑
579.95 m
↓
↑
579.95 m
↓
N 18.286734°
E 29.608154°		 ← 579.94 m →
336 333 m²		 N 18.286734°
E 29.613647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582252502441406 y=0.448310852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582252502441406 × 216)
    floor (0.582252502441406 × 65536)
    floor (38158.5)     		tx = 38158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448310852050781 × 216)
    floor (0.448310852050781 × 65536)
    floor (29380.5)     		ty = 29380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38158 / 29380 ti = "16/38158/29380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38158/29380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38158 ÷ 216
    38158 ÷ 65536     		x = 0.582244873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29380 ÷ 216
    29380 ÷ 65536     		y = 0.44830322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582244873046875 × 2 - 1) × π
    0.16448974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51675978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44830322265625 × 2 - 1) × π
    0.1033935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.3248204318255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51675978} λ = 0.51675978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3248204318255))-π/2
    2×atan(1.38378214043671)-π/2
    2×0.945025538122917-π/2
    1.89005107624583-1.57079632675     		φ = 0.31925475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51675978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.608154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31925475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.291950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38158 KachelY 29380 0.51675978 0.31925475 29.608154 18.291950
    Oben rechts KachelX + 1 38159 KachelY 29380 0.51685565 0.31925475 29.613647 18.291950
    Unten links KachelX 38158 KachelY + 1 29381 0.51675978 0.31916372 29.608154 18.286734
    Unten rechts KachelX + 1 38159 KachelY + 1 29381 0.51685565 0.31916372 29.613647 18.286734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31925475-0.31916372) × R
    9.1029999999992e-05 × 6371000     		dl = 579.952129999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31925475-0.31916372) × R
    9.1029999999992e-05 × 6371000     		dr = 579.952129999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51675978-0.51685565) × cos(0.31925475) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.949469585188533 × 6371000     		do = 579.924410620117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51675978-0.51685565) × cos(0.31916372) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.949498151844457 × 6371000     		du = 579.941858784184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31925475)-sin(0.31916372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949469585188533-0.949498151844457)×R²
    abs(0.51685565-0.51675978)×2.85666559233233e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85666559233233e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85666559233233e-05×40589641000000     		ar = 336333.456960168m²