Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38158 / 29354
↖ ↑ ↗
← N 18.427502°
E 29.608154°		 ← 579.47 m → N 18.427502°
E 29.613647°		 →
↑
579.51 m
↓
↑
579.51 m
↓
N 18.422290°
E 29.608154°		 ← 579.49 m →
335 811 m²		 N 18.422290°
E 29.613647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582252502441406 y=0.447914123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582252502441406 × 216)
    floor (0.582252502441406 × 65536)
    floor (38158.5)     		tx = 38158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447914123535156 × 216)
    floor (0.447914123535156 × 65536)
    floor (29354.5)     		ty = 29354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38158 / 29354 ti = "16/38158/29354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38158/29354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38158 ÷ 216
    38158 ÷ 65536     		x = 0.582244873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29354 ÷ 216
    29354 ÷ 65536     		y = 0.447906494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582244873046875 × 2 - 1) × π
    0.16448974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51675978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447906494140625 × 2 - 1) × π
    0.10418701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.327313150605743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51675978} λ = 0.51675978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.327313150605743))-π/2
    2×atan(1.38723582290719)-π/2
    2×0.946208454557136-π/2
    1.89241690911427-1.57079632675     		φ = 0.32162058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51675978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.608154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32162058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.427502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38158 KachelY 29354 0.51675978 0.32162058 29.608154 18.427502
    Oben rechts KachelX + 1 38159 KachelY 29354 0.51685565 0.32162058 29.613647 18.427502
    Unten links KachelX 38158 KachelY + 1 29355 0.51675978 0.32152962 29.608154 18.422290
    Unten rechts KachelX + 1 38159 KachelY + 1 29355 0.51685565 0.32152962 29.613647 18.422290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32162058-0.32152962) × R
    9.09599999999733e-05 × 6371000     		dl = 579.50615999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32162058-0.32152962) × R
    9.09599999999733e-05 × 6371000     		dr = 579.50615999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51675978-0.51685565) × cos(0.32162058) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948724391550271 × 6371000     		do = 579.469255459584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51675978-0.51685565) × cos(0.32152962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948753140487064 × 6371000     		du = 579.486814958578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32162058)-sin(0.32152962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948724391550271-0.948753140487064)×R²
    abs(0.51685565-0.51675978)×2.87489367926108e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.87489367926108e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.87489367926108e-05×40589641000000     		ar = 335811.091219955m²