Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38157 / 29378
↖ ↑ ↗
← N 18.302380°
E 29.602661°		 ← 579.95 m → N 18.302380°
E 29.608154°		 →
↑
579.89 m
↓
↑
579.89 m
↓
N 18.297165°
E 29.602661°		 ← 579.97 m →
336 311 m²		 N 18.297165°
E 29.608154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582237243652344 y=0.448280334472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582237243652344 × 216)
    floor (0.582237243652344 × 65536)
    floor (38157.5)     		tx = 38157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448280334472656 × 216)
    floor (0.448280334472656 × 65536)
    floor (29378.5)     		ty = 29378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38157 / 29378 ti = "16/38157/29378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38157/29378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38157 ÷ 216
    38157 ÷ 65536     		x = 0.582229614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29378 ÷ 216
    29378 ÷ 65536     		y = 0.448272705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582229614257812 × 2 - 1) × π
    0.164459228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51666390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448272705078125 × 2 - 1) × π
    0.10345458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.325012179423981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51666390} λ = 0.51666390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325012179423981))-π/2
    2×atan(1.38404750277944)-π/2
    2×0.945116564639732-π/2
    1.89023312927946-1.57079632675     		φ = 0.31943680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51666390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.602661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31943680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.302380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38157 KachelY 29378 0.51666390 0.31943680 29.602661 18.302380
    Oben rechts KachelX + 1 38158 KachelY 29378 0.51675978 0.31943680 29.608154 18.302380
    Unten links KachelX 38157 KachelY + 1 29379 0.51666390 0.31934578 29.602661 18.297165
    Unten rechts KachelX + 1 38158 KachelY + 1 29379 0.51675978 0.31934578 29.608154 18.297165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31943680-0.31934578) × R
    9.10199999999972e-05 × 6371000     		dl = 579.888419999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31943680-0.31934578) × R
    9.10199999999972e-05 × 6371000     		dr = 579.888419999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51666390-0.51675978) × cos(0.31943680) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.949412431414014 × 6371000     		do = 579.949988859941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51666390-0.51675978) × cos(0.31934578) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.949441010664867 × 6371000     		du = 579.967446537621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31943680)-sin(0.31934578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949412431414014-0.949441010664867)×R²
    abs(0.51675978-0.51666390)×2.8579250852756e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.8579250852756e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.8579250852756e-05×40589641000000     		ar = 336311.344703918m²