Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38152 / 29661
↖ ↑ ↗
← N 16.820316°
E 29.575196°		 ← 584.66 m → N 16.820316°
E 29.580689°		 →
↑
584.67 m
↓
↑
584.67 m
↓
N 16.815058°
E 29.575196°		 ← 584.67 m →
341 834 m²		 N 16.815058°
E 29.580689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582160949707031 y=0.452598571777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582160949707031 × 216)
    floor (0.582160949707031 × 65536)
    floor (38152.5)     		tx = 38152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452598571777344 × 216)
    floor (0.452598571777344 × 65536)
    floor (29661.5)     		ty = 29661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38152 / 29661 ti = "16/38152/29661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38152/29661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38152 ÷ 216
    38152 ÷ 65536     		x = 0.5821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29661 ÷ 216
    29661 ÷ 65536     		y = 0.452590942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5821533203125 × 2 - 1) × π
    0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452590942382812 × 2 - 1) × π
    0.094818115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.297879894239029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51618454} λ = 0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.297879894239029))-π/2
    2×atan(1.34699999570415)-π/2
    2×0.93218311269387-π/2
    1.86436622538774-1.57079632675     		φ = 0.29356990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29356990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.820316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38152 KachelY 29661 0.51618454 0.29356990 29.575196 16.820316
    Oben rechts KachelX + 1 38153 KachelY 29661 0.51628041 0.29356990 29.580689 16.820316
    Unten links KachelX 38152 KachelY + 1 29662 0.51618454 0.29347813 29.575196 16.815058
    Unten rechts KachelX + 1 38153 KachelY + 1 29662 0.51628041 0.29347813 29.580689 16.815058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29356990-0.29347813) × R
    9.1769999999991e-05 × 6371000     		dl = 584.666669999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29356990-0.29347813) × R
    9.1769999999991e-05 × 6371000     		dr = 584.666669999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51618454-0.51628041) × cos(0.29356990) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.957216950819938 × 6371000     		do = 584.656406797497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51618454-0.51628041) × cos(0.29347813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.957243502387014 × 6371000     		du = 584.672624169941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29356990)-sin(0.29347813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957216950819938-0.957243502387014)×R²
    abs(0.51628041-0.51618454)×2.65515670764271e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.65515670764271e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.65515670764271e-05×40589641000000     		ar = 341833.855574732m²