Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38152 / 29289
↖ ↑ ↗
← N 18.765914°
E 29.575196°		 ← 578.32 m → N 18.765914°
E 29.580689°		 →
↑
578.36 m
↓
↑
578.36 m
↓
N 18.760713°
E 29.575196°		 ← 578.34 m →
334 481 m²		 N 18.760713°
E 29.580689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582160949707031 y=0.446922302246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582160949707031 × 216)
    floor (0.582160949707031 × 65536)
    floor (38152.5)     		tx = 38152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446922302246094 × 216)
    floor (0.446922302246094 × 65536)
    floor (29289.5)     		ty = 29289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38152 / 29289 ti = "16/38152/29289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38152/29289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38152 ÷ 216
    38152 ÷ 65536     		x = 0.5821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29289 ÷ 216
    29289 ÷ 65536     		y = 0.446914672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5821533203125 × 2 - 1) × π
    0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446914672851562 × 2 - 1) × π
    0.106170654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.333544947556351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51618454} λ = 0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.333544947556351))-π/2
    2×atan(1.39590778777543)-π/2
    2×0.949161656534193-π/2
    1.89832331306839-1.57079632675     		φ = 0.32752699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32752699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.765914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38152 KachelY 29289 0.51618454 0.32752699 29.575196 18.765914
    Oben rechts KachelX + 1 38153 KachelY 29289 0.51628041 0.32752699 29.580689 18.765914
    Unten links KachelX 38152 KachelY + 1 29290 0.51618454 0.32743621 29.575196 18.760713
    Unten rechts KachelX + 1 38153 KachelY + 1 29290 0.51628041 0.32743621 29.580689 18.760713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32752699-0.32743621) × R
    9.07800000000125e-05 × 6371000     		dl = 578.35938000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32752699-0.32743621) × R
    9.07800000000125e-05 × 6371000     		dr = 578.35938000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51618454-0.51628041) × cos(0.32752699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946840811469994 × 6371000     		do = 578.318787782735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51618454-0.51628041) × cos(0.32743621) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946870011718511 × 6371000     		du = 578.336622937411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32752699)-sin(0.32743621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946840811469994-0.946870011718511)×R²
    abs(0.51628041-0.51618454)×2.92002485176024e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92002485176024e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92002485176024e-05×40589641000000     		ar = 334481.25333858m²