Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38151 / 29917
↖ ↑ ↗
← N 15.469563°
E 29.569702°		 ← 588.72 m → N 15.469563°
E 29.575196°		 →
↑
588.68 m
↓
↑
588.68 m
↓
N 15.464269°
E 29.569702°		 ← 588.74 m →
346 573 m²		 N 15.464269°
E 29.575196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582145690917969 y=0.456504821777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582145690917969 × 216)
    floor (0.582145690917969 × 65536)
    floor (38151.5)     		tx = 38151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456504821777344 × 216)
    floor (0.456504821777344 × 65536)
    floor (29917.5)     		ty = 29917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38151 / 29917 ti = "16/38151/29917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38151/29917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38151 ÷ 216
    38151 ÷ 65536     		x = 0.582138061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29917 ÷ 216
    29917 ÷ 65536     		y = 0.456497192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582138061523438 × 2 - 1) × π
    0.164276123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51608866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456497192382812 × 2 - 1) × π
    0.087005615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.27333620163356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51608866} λ = 0.51608866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.27333620163356))-π/2
    2×atan(1.31434205449779)-π/2
    2×0.920395570206187-π/2
    1.84079114041237-1.57079632675     		φ = 0.26999481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51608866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.569702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26999481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.469563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38151 KachelY 29917 0.51608866 0.26999481 29.569702 15.469563
    Oben rechts KachelX + 1 38152 KachelY 29917 0.51618454 0.26999481 29.575196 15.469563
    Unten links KachelX 38151 KachelY + 1 29918 0.51608866 0.26990241 29.569702 15.464269
    Unten rechts KachelX + 1 38152 KachelY + 1 29918 0.51618454 0.26990241 29.575196 15.464269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26999481-0.26990241) × R
    9.23999999999925e-05 × 6371000     		dl = 588.680399999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26999481-0.26990241) × R
    9.23999999999925e-05 × 6371000     		dr = 588.680399999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51608866-0.51618454) × cos(0.26999481) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.963772280689067 × 6371000     		do = 588.721724042187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51608866-0.51618454) × cos(0.26990241) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.963796922097371 × 6371000     		du = 588.73677628292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26999481)-sin(0.26990241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963772280689067-0.963796922097371)×R²
    abs(0.51618454-0.51608866)×2.46414083042712e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.46414083042712e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.46414083042712e-05×40589641000000     		ar = 346573.370724041m²