Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38150 / 29446
↖ ↑ ↗
← N 17.947380°
E 29.564209°		 ← 581.07 m → N 17.947380°
E 29.569702°		 →
↑
581.04 m
↓
↑
581.04 m
↓
N 17.942155°
E 29.564209°		 ← 581.08 m →
337 625 m²		 N 17.942155°
E 29.569702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582130432128906 y=0.449317932128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582130432128906 × 216)
    floor (0.582130432128906 × 65536)
    floor (38150.5)     		tx = 38150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449317932128906 × 216)
    floor (0.449317932128906 × 65536)
    floor (29446.5)     		ty = 29446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38150 / 29446 ti = "16/38150/29446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38150/29446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38150 ÷ 216
    38150 ÷ 65536     		x = 0.582122802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29446 ÷ 216
    29446 ÷ 65536     		y = 0.449310302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582122802734375 × 2 - 1) × π
    0.16424560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51599279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449310302734375 × 2 - 1) × π
    0.10137939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.318492761075653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51599279} λ = 0.51599279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318492761075653))-π/2
    2×atan(1.37505366723835)-π/2
    2×0.942018605869054-π/2
    1.88403721173811-1.57079632675     		φ = 0.31324088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51599279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.564209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31324088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.947380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38150 KachelY 29446 0.51599279 0.31324088 29.564209 17.947380
    Oben rechts KachelX + 1 38151 KachelY 29446 0.51608866 0.31324088 29.569702 17.947380
    Unten links KachelX 38150 KachelY + 1 29447 0.51599279 0.31314968 29.564209 17.942155
    Unten rechts KachelX + 1 38151 KachelY + 1 29447 0.51608866 0.31314968 29.569702 17.942155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31324088-0.31314968) × R
    9.12000000000135e-05 × 6371000     		dl = 581.035200000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31324088-0.31314968) × R
    9.12000000000135e-05 × 6371000     		dr = 581.035200000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51599279-0.51608866) × cos(0.31324088) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951339911863006 × 6371000     		do = 581.066783278789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51599279-0.51608866) × cos(0.31314968) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951368010587226 × 6371000     		du = 581.083945635895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31324088)-sin(0.31314968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951339911863006-0.951368010587226)×R²
    abs(0.51608866-0.51599279)×2.80987242200492e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.80987242200492e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.80987242200492e-05×40589641000000     		ar = 337625.240836742m²