Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38150 / 29385
↖ ↑ ↗
← N 18.265870°
E 29.564209°		 ← 580.01 m → N 18.265870°
E 29.569702°		 →
↑
580.08 m
↓
↑
580.08 m
↓
N 18.260653°
E 29.564209°		 ← 580.03 m →
336 458 m²		 N 18.260653°
E 29.569702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582130432128906 y=0.448387145996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582130432128906 × 216)
    floor (0.582130432128906 × 65536)
    floor (38150.5)     		tx = 38150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448387145996094 × 216)
    floor (0.448387145996094 × 65536)
    floor (29385.5)     		ty = 29385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38150 / 29385 ti = "16/38150/29385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38150/29385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38150 ÷ 216
    38150 ÷ 65536     		x = 0.582122802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29385 ÷ 216
    29385 ÷ 65536     		y = 0.448379516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582122802734375 × 2 - 1) × π
    0.16424560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51599279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448379516601562 × 2 - 1) × π
    0.103240966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.3243410628293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51599279} λ = 0.51599279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3243410628293))-π/2
    2×atan(1.38311895714854)-π/2
    2×0.94479794786921-π/2
    1.88959589573842-1.57079632675     		φ = 0.31879957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51599279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.564209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31879957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.265870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38150 KachelY 29385 0.51599279 0.31879957 29.564209 18.265870
    Oben rechts KachelX + 1 38151 KachelY 29385 0.51608866 0.31879957 29.569702 18.265870
    Unten links KachelX 38150 KachelY + 1 29386 0.51599279 0.31870852 29.564209 18.260653
    Unten rechts KachelX + 1 38151 KachelY + 1 29386 0.51608866 0.31870852 29.569702 18.260653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31879957-0.31870852) × R
    9.10499999999814e-05 × 6371000     		dl = 580.079549999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31879957-0.31870852) × R
    9.10499999999814e-05 × 6371000     		dr = 580.079549999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51599279-0.51608866) × cos(0.31879957) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.949612349188797 × 6371000     		do = 580.011609125474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51599279-0.51608866) × cos(0.31870852) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.949640882766672 × 6371000     		du = 580.029037085874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31879957)-sin(0.31870852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949612349188797-0.949640882766672)×R²
    abs(0.51608866-0.51599279)×2.8533577875467e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.8533577875467e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.8533577875467e-05×40589641000000     		ar = 336457.928250371m²