Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38150 / 29374
↖ ↑ ↗
← N 18.323241°
E 29.564209°		 ← 579.82 m → N 18.323241°
E 29.569702°		 →
↑
579.89 m
↓
↑
579.89 m
↓
N 18.318026°
E 29.564209°		 ← 579.84 m →
336 236 m²		 N 18.318026°
E 29.569702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582130432128906 y=0.448219299316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582130432128906 × 216)
    floor (0.582130432128906 × 65536)
    floor (38150.5)     		tx = 38150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448219299316406 × 216)
    floor (0.448219299316406 × 65536)
    floor (29374.5)     		ty = 29374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38150 / 29374 ti = "16/38150/29374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38150/29374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38150 ÷ 216
    38150 ÷ 65536     		x = 0.582122802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29374 ÷ 216
    29374 ÷ 65536     		y = 0.448211669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582122802734375 × 2 - 1) × π
    0.16424560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51599279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448211669921875 × 2 - 1) × π
    0.10357666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.325395674620941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51599279} λ = 0.51599279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325395674620941))-π/2
    2×atan(1.38457838013708)-π/2
    2×0.945298601227723-π/2
    1.89059720245545-1.57079632675     		φ = 0.31980088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51599279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.564209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31980088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.323241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38150 KachelY 29374 0.51599279 0.31980088 29.564209 18.323241
    Oben rechts KachelX + 1 38151 KachelY 29374 0.51608866 0.31980088 29.569702 18.323241
    Unten links KachelX 38150 KachelY + 1 29375 0.51599279 0.31970986 29.564209 18.318026
    Unten rechts KachelX + 1 38151 KachelY + 1 29375 0.51608866 0.31970986 29.569702 18.318026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31980088-0.31970986) × R
    9.10199999999972e-05 × 6371000     		dl = 579.888419999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31980088-0.31970986) × R
    9.10199999999972e-05 × 6371000     		dr = 579.888419999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51599279-0.51608866) × cos(0.31980088) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.949298035757566 × 6371000     		do = 579.819630325732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51599279-0.51608866) × cos(0.31970986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94932664646916 × 6371000     		du = 579.837105398464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31980088)-sin(0.31970986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949298035757566-0.94932664646916)×R²
    abs(0.51608866-0.51599279)×2.86107115937684e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.86107115937684e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.86107115937684e-05×40589641000000     		ar = 336235.756342743m²