Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38149 / 29386
↖ ↑ ↗
← N 18.260653°
E 29.558716°		 ← 580.09 m → N 18.260653°
E 29.564209°		 →
↑
580.02 m
↓
↑
580.02 m
↓
N 18.255437°
E 29.558716°		 ← 580.11 m →
336 466 m²		 N 18.255437°
E 29.564209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582115173339844 y=0.448402404785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582115173339844 × 216)
    floor (0.582115173339844 × 65536)
    floor (38149.5)     		tx = 38149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448402404785156 × 216)
    floor (0.448402404785156 × 65536)
    floor (29386.5)     		ty = 29386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38149 / 29386 ti = "16/38149/29386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38149/29386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38149 ÷ 216
    38149 ÷ 65536     		x = 0.582107543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29386 ÷ 216
    29386 ÷ 65536     		y = 0.448394775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582107543945312 × 2 - 1) × π
    0.164215087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51589691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448394775390625 × 2 - 1) × π
    0.10321044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.32424518903006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51589691} λ = 0.51589691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.32424518903006))-π/2
    2×atan(1.38298635863578)-π/2
    2×0.944752425713442-π/2
    1.88950485142688-1.57079632675     		φ = 0.31870852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51589691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.558716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31870852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.260653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38149 KachelY 29386 0.51589691 0.31870852 29.558716 18.260653
    Oben rechts KachelX + 1 38150 KachelY 29386 0.51599279 0.31870852 29.564209 18.260653
    Unten links KachelX 38149 KachelY + 1 29387 0.51589691 0.31861748 29.558716 18.255437
    Unten rechts KachelX + 1 38150 KachelY + 1 29387 0.51599279 0.31861748 29.564209 18.255437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31870852-0.31861748) × R
    9.10399999999867e-05 × 6371000     		dl = 580.015839999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31870852-0.31861748) × R
    9.10399999999867e-05 × 6371000     		dr = 580.015839999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51589691-0.51599279) × cos(0.31870852) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.949640882766672 × 6371000     		do = 580.089538706148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51589691-0.51599279) × cos(0.31861748) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.949669405339388 × 6371000     		du = 580.106961761905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31870852)-sin(0.31861748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949640882766672-0.949669405339388)×R²
    abs(0.51599279-0.51589691)×2.85225727160165e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.85225727160165e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.85225727160165e-05×40589641000000     		ar = 336466.174124562m²