Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38149 / 29373
↖ ↑ ↗
← N 18.328455°
E 29.558716°		 ← 579.86 m → N 18.328455°
E 29.564209°		 →
↑
579.82 m
↓
↑
579.82 m
↓
N 18.323241°
E 29.558716°		 ← 579.88 m →
336 224 m²		 N 18.323241°
E 29.564209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582115173339844 y=0.448204040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582115173339844 × 216)
    floor (0.582115173339844 × 65536)
    floor (38149.5)     		tx = 38149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448204040527344 × 216)
    floor (0.448204040527344 × 65536)
    floor (29373.5)     		ty = 29373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38149 / 29373 ti = "16/38149/29373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38149/29373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38149 ÷ 216
    38149 ÷ 65536     		x = 0.582107543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29373 ÷ 216
    29373 ÷ 65536     		y = 0.448196411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582107543945312 × 2 - 1) × π
    0.164215087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51589691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448196411132812 × 2 - 1) × π
    0.103607177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.325491548420181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51589691} λ = 0.51589691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325491548420181))-π/2
    2×atan(1.3847111312903)-π/2
    2×0.945344106946588-π/2
    1.89068821389318-1.57079632675     		φ = 0.31989189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51589691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.558716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31989189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.328455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38149 KachelY 29373 0.51589691 0.31989189 29.558716 18.328455
    Oben rechts KachelX + 1 38150 KachelY 29373 0.51599279 0.31989189 29.564209 18.328455
    Unten links KachelX 38149 KachelY + 1 29374 0.51589691 0.31980088 29.558716 18.323241
    Unten rechts KachelX + 1 38150 KachelY + 1 29374 0.51599279 0.31980088 29.564209 18.323241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31989189-0.31980088) × R
    9.10100000000025e-05 × 6371000     		dl = 579.824710000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31989189-0.31980088) × R
    9.10100000000025e-05 × 6371000     		dr = 579.824710000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51589691-0.51599279) × cos(0.31989189) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.949269420326019 × 6371000     		do = 579.862630324511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51589691-0.51599279) × cos(0.31980088) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.949298035757566 × 6371000     		du = 579.880110103222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31989189)-sin(0.31980088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949269420326019-0.949298035757566)×R²
    abs(0.51599279-0.51589691)×2.86154315471965e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.86154315471965e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.86154315471965e-05×40589641000000     		ar = 336223.749303728m²