Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38147 / 29458
↖ ↑ ↗
← N 17.884659°
E 29.547730°		 ← 581.27 m → N 17.884659°
E 29.553223°		 →
↑
581.29 m
↓
↑
581.29 m
↓
N 17.879432°
E 29.547730°		 ← 581.29 m →
337 893 m²		 N 17.879432°
E 29.553223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582084655761719 y=0.449501037597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582084655761719 × 216)
    floor (0.582084655761719 × 65536)
    floor (38147.5)     		tx = 38147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449501037597656 × 216)
    floor (0.449501037597656 × 65536)
    floor (29458.5)     		ty = 29458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38147 / 29458 ti = "16/38147/29458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38147/29458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38147 ÷ 216
    38147 ÷ 65536     		x = 0.582077026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29458 ÷ 216
    29458 ÷ 65536     		y = 0.449493408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582077026367188 × 2 - 1) × π
    0.164154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51570517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449493408203125 × 2 - 1) × π
    0.10101318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.317342275484772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51570517} λ = 0.51570517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.317342275484772))-π/2
    2×atan(1.37347259748088)-π/2
    2×0.941471257533157-π/2
    1.88294251506631-1.57079632675     		φ = 0.31214619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51570517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.547730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31214619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.884659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38147 KachelY 29458 0.51570517 0.31214619 29.547730 17.884659
    Oben rechts KachelX + 1 38148 KachelY 29458 0.51580104 0.31214619 29.553223 17.884659
    Unten links KachelX 38147 KachelY + 1 29459 0.51570517 0.31205495 29.547730 17.879432
    Unten rechts KachelX + 1 38148 KachelY + 1 29459 0.51580104 0.31205495 29.553223 17.879432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31214619-0.31205495) × R
    9.12399999999924e-05 × 6371000     		dl = 581.290039999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31214619-0.31205495) × R
    9.12399999999924e-05 × 6371000     		dr = 581.290039999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51570517-0.51580104) × cos(0.31214619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951676663307388 × 6371000     		do = 581.272466942548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51570517-0.51580104) × cos(0.31205495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951704679316276 × 6371000     		du = 581.289578778141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31214619)-sin(0.31205495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951676663307388-0.951704679316276)×R²
    abs(0.51580104-0.51570517)×2.8016008888021e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.8016008888021e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.8016008888021e-05×40589641000000     		ar = 337892.869264006m²