Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38145 / 29443
↖ ↑ ↗
← N 17.963058°
E 29.536743°		 ← 581.02 m → N 17.963058°
E 29.542236°		 →
↑
581.04 m
↓
↑
581.04 m
↓
N 17.957832°
E 29.536743°		 ← 581.03 m →
337 595 m²		 N 17.957832°
E 29.542236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582054138183594 y=0.449272155761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582054138183594 × 216)
    floor (0.582054138183594 × 65536)
    floor (38145.5)     		tx = 38145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449272155761719 × 216)
    floor (0.449272155761719 × 65536)
    floor (29443.5)     		ty = 29443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38145 / 29443 ti = "16/38145/29443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38145/29443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38145 ÷ 216
    38145 ÷ 65536     		x = 0.582046508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29443 ÷ 216
    29443 ÷ 65536     		y = 0.449264526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582046508789062 × 2 - 1) × π
    0.164093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51551342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449264526367188 × 2 - 1) × π
    0.101470947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.318780382473373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51551342} λ = 0.51551342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318780382473373))-π/2
    2×atan(1.3754492189779)-π/2
    2×0.942155412662116-π/2
    1.88431082532423-1.57079632675     		φ = 0.31351450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51551342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.536743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31351450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.963058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38145 KachelY 29443 0.51551342 0.31351450 29.536743 17.963058
    Oben rechts KachelX + 1 38146 KachelY 29443 0.51560929 0.31351450 29.542236 17.963058
    Unten links KachelX 38145 KachelY + 1 29444 0.51551342 0.31342330 29.536743 17.957832
    Unten rechts KachelX + 1 38146 KachelY + 1 29444 0.51560929 0.31342330 29.542236 17.957832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31351450-0.31342330) × R
    9.1199999999958e-05 × 6371000     		dl = 581.035199999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31351450-0.31342330) × R
    9.1199999999958e-05 × 6371000     		dr = 581.035199999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51551342-0.51560929) × cos(0.31351450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951255562046931 × 6371000     		do = 581.015263442729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51551342-0.51560929) × cos(0.31342330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.951283684510322 × 6371000     		du = 581.032440299431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31351450)-sin(0.31342330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951255562046931-0.951283684510322)×R²
    abs(0.51560929-0.51551342)×2.81224633916777e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.81224633916777e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.81224633916777e-05×40589641000000     		ar = 337595.310210411m²