Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38145 / 29358
↖ ↑ ↗
← N 18.406655°
E 29.536743°		 ← 579.54 m → N 18.406655°
E 29.542236°		 →
↑
579.57 m
↓
↑
579.57 m
↓
N 18.401443°
E 29.536743°		 ← 579.56 m →
335 889 m²		 N 18.401443°
E 29.542236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582054138183594 y=0.447975158691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582054138183594 × 216)
    floor (0.582054138183594 × 65536)
    floor (38145.5)     		tx = 38145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447975158691406 × 216)
    floor (0.447975158691406 × 65536)
    floor (29358.5)     		ty = 29358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38145 / 29358 ti = "16/38145/29358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38145/29358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38145 ÷ 216
    38145 ÷ 65536     		x = 0.582046508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29358 ÷ 216
    29358 ÷ 65536     		y = 0.447967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582046508789062 × 2 - 1) × π
    0.164093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51551342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447967529296875 × 2 - 1) × π
    0.10406494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.326929655408783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51551342} λ = 0.51551342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.326929655408783))-π/2
    2×atan(1.38670392662841)-π/2
    2×0.946026527910827-π/2
    1.89205305582165-1.57079632675     		φ = 0.32125673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51551342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.536743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32125673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.406655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38145 KachelY 29358 0.51551342 0.32125673 29.536743 18.406655
    Oben rechts KachelX + 1 38146 KachelY 29358 0.51560929 0.32125673 29.542236 18.406655
    Unten links KachelX 38145 KachelY + 1 29359 0.51551342 0.32116576 29.536743 18.401443
    Unten rechts KachelX + 1 38146 KachelY + 1 29359 0.51560929 0.32116576 29.542236 18.401443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32125673-0.32116576) × R
    9.0969999999968e-05 × 6371000     		dl = 579.569869999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32125673-0.32116576) × R
    9.0969999999968e-05 × 6371000     		dr = 579.569869999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51551342-0.51560929) × cos(0.32125673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948839343355767 × 6371000     		do = 579.539466616521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51551342-0.51560929) × cos(0.32116576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948868064048122 × 6371000     		du = 579.557008864157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32125673)-sin(0.32116576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948839343355767-0.948868064048122)×R²
    abs(0.51560929-0.51551342)×2.87206923549332e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.87206923549332e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.87206923549332e-05×40589641000000     		ar = 335888.697037474m²