Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38145 / 28927
↖ ↑ ↗
← N 20.637925°
E 29.536743°		 ← 571.59 m → N 20.637925°
E 29.542236°		 →
↑
571.61 m
↓
↑
571.61 m
↓
N 20.632784°
E 29.536743°		 ← 571.61 m →
326 731 m²		 N 20.632784°
E 29.542236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582054138183594 y=0.441398620605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582054138183594 × 216)
    floor (0.582054138183594 × 65536)
    floor (38145.5)     		tx = 38145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441398620605469 × 216)
    floor (0.441398620605469 × 65536)
    floor (28927.5)     		ty = 28927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38145 / 28927 ti = "16/38145/28927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38145/28927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38145 ÷ 216
    38145 ÷ 65536     		x = 0.582046508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28927 ÷ 216
    28927 ÷ 65536     		y = 0.441390991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582046508789062 × 2 - 1) × π
    0.164093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51551342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441390991210938 × 2 - 1) × π
    0.117218017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.368251262881271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51551342} λ = 0.51551342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368251262881271))-π/2
    2×atan(1.44520511976003)-π/2
    2×0.965498034280054-π/2
    1.93099606856011-1.57079632675     		φ = 0.36019974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51551342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.536743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36019974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.637925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38145 KachelY 28927 0.51551342 0.36019974 29.536743 20.637925
    Oben rechts KachelX + 1 38146 KachelY 28927 0.51560929 0.36019974 29.542236 20.637925
    Unten links KachelX 38145 KachelY + 1 28928 0.51551342 0.36011002 29.536743 20.632784
    Unten rechts KachelX + 1 38146 KachelY + 1 28928 0.51560929 0.36011002 29.542236 20.632784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36019974-0.36011002) × R
    8.97200000000153e-05 × 6371000     		dl = 571.606120000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36019974-0.36011002) × R
    8.97200000000153e-05 × 6371000     		dr = 571.606120000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51551342-0.51560929) × cos(0.36019974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935826441753747 × 6371000     		do = 571.591345465794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51551342-0.51560929) × cos(0.36011002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.935858060802633 × 6371000     		du = 571.610657994152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36019974)-sin(0.36011002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935826441753747-0.935858060802633)×R²
    abs(0.51560929-0.51551342)×3.16190488862667e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16190488862667e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16190488862667e-05×40589641000000     		ar = 326730.631006145m²