Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38142 / 29310
↖ ↑ ↗
← N 18.656655°
E 29.520264°		 ← 578.69 m → N 18.656655°
E 29.525757°		 →
↑
578.74 m
↓
↑
578.74 m
↓
N 18.651450°
E 29.520264°		 ← 578.71 m →
334 919 m²		 N 18.651450°
E 29.525757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582008361816406 y=0.447242736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582008361816406 × 216)
    floor (0.582008361816406 × 65536)
    floor (38142.5)     		tx = 38142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447242736816406 × 216)
    floor (0.447242736816406 × 65536)
    floor (29310.5)     		ty = 29310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38142 / 29310 ti = "16/38142/29310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38142/29310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38142 ÷ 216
    38142 ÷ 65536     		x = 0.582000732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29310 ÷ 216
    29310 ÷ 65536     		y = 0.447235107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582000732421875 × 2 - 1) × π
    0.16400146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51522580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447235107421875 × 2 - 1) × π
    0.10552978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.331531597772308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51522580} λ = 0.51522580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.331531597772308))-π/2
    2×atan(1.39310016444469)-π/2
    2×0.948208187491507-π/2
    1.89641637498301-1.57079632675     		φ = 0.32562005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51522580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.520264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32562005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.656655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38142 KachelY 29310 0.51522580 0.32562005 29.520264 18.656655
    Oben rechts KachelX + 1 38143 KachelY 29310 0.51532167 0.32562005 29.525757 18.656655
    Unten links KachelX 38142 KachelY + 1 29311 0.51522580 0.32552921 29.520264 18.651450
    Unten rechts KachelX + 1 38143 KachelY + 1 29311 0.51532167 0.32552921 29.525757 18.651450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32562005-0.32552921) × R
    9.08399999999809e-05 × 6371000     		dl = 578.741639999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32562005-0.32552921) × R
    9.08399999999809e-05 × 6371000     		dr = 578.741639999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51522580-0.51532167) × cos(0.32562005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947452556846989 × 6371000     		do = 578.692434377358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51522580-0.51532167) × cos(0.32552921) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947481612319084 × 6371000     		du = 578.710181104365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32562005)-sin(0.32552921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947452556846989-0.947481612319084)×R²
    abs(0.51532167-0.51522580)×2.90554720947522e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90554720947522e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90554720947522e-05×40589641000000     		ar = 334918.544142334m²