Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38140 / 29676
↖ ↑ ↗
← N 16.741427°
E 29.509277°		 ← 584.90 m → N 16.741427°
E 29.514770°		 →
↑
584.92 m
↓
↑
584.92 m
↓
N 16.736167°
E 29.509277°		 ← 584.92 m →
342 125 m²		 N 16.736167°
E 29.514770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581977844238281 y=0.452827453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581977844238281 × 216)
    floor (0.581977844238281 × 65536)
    floor (38140.5)     		tx = 38140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452827453613281 × 216)
    floor (0.452827453613281 × 65536)
    floor (29676.5)     		ty = 29676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38140 / 29676 ti = "16/38140/29676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38140/29676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38140 ÷ 216
    38140 ÷ 65536     		x = 0.58197021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29676 ÷ 216
    29676 ÷ 65536     		y = 0.45281982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58197021484375 × 2 - 1) × π
    0.1639404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51503405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45281982421875 × 2 - 1) × π
    0.0943603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.296441787250427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51503405} λ = 0.51503405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.296441787250427))-π/2
    2×atan(1.34506425782938)-π/2
    2×0.931494679483037-π/2
    1.86298935896607-1.57079632675     		φ = 0.29219303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51503405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.509277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29219303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.741427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38140 KachelY 29676 0.51503405 0.29219303 29.509277 16.741427
    Oben rechts KachelX + 1 38141 KachelY 29676 0.51512992 0.29219303 29.514770 16.741427
    Unten links KachelX 38140 KachelY + 1 29677 0.51503405 0.29210122 29.509277 16.736167
    Unten rechts KachelX + 1 38141 KachelY + 1 29677 0.51512992 0.29210122 29.514770 16.736167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29219303-0.29210122) × R
    9.18100000000255e-05 × 6371000     		dl = 584.921510000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29219303-0.29210122) × R
    9.18100000000255e-05 × 6371000     		dr = 584.921510000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51503405-0.51512992) × cos(0.29219303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.957614469928317 × 6371000     		do = 584.899206607236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51503405-0.51512992) × cos(0.29210122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.957640912037698 × 6371000     		du = 584.915357124259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29219303)-sin(0.29210122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957614469928317-0.957640912037698)×R²
    abs(0.51512992-0.51503405)×2.64421093806311e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.64421093806311e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.64421093806311e-05×40589641000000     		ar = 342124.850759264m²