Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3814 / 3620
↖ ↑ ↗
← S 79.749932°
E155.214844°		 ← 1 739.05 m → S 79.749932°
E155.302734°		 →
↑
1 737.75 m
↓
↑
1 737.75 m
↓
S 79.765560°
E155.214844°		 ← 1 736.43 m →
3 019 764 m²		 S 79.765560°
E155.302734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9312744140625 y=0.8839111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9312744140625 × 212)
    floor (0.9312744140625 × 4096)
    floor (3814.5)     		tx = 3814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8839111328125 × 212)
    floor (0.8839111328125 × 4096)
    floor (3620.5)     		ty = 3620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3814 / 3620 ti = "12/3814/3620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3814/3620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3814 ÷ 212
    3814 ÷ 4096     		x = 0.93115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3620 ÷ 212
    3620 ÷ 4096     		y = 0.8837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93115234375 × 2 - 1) × π
    0.8623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.70901007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8837890625 × 2 - 1) × π
    -0.767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.4114177984873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70901007} λ = 2.70901007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4114177984873))-π/2
    2×atan(0.089688044812041)-π/2
    2×0.0894487169274638-π/2
    0.178897433854928-1.57079632675     		φ = -1.39189889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70901007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39189889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.749932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3814 KachelY 3620 2.70901007 -1.39189889 155.214844 -79.749932
    Oben rechts KachelX + 1 3815 KachelY 3620 2.71054405 -1.39189889 155.302734 -79.749932
    Unten links KachelX 3814 KachelY + 1 3621 2.70901007 -1.39217165 155.214844 -79.765560
    Unten rechts KachelX + 1 3815 KachelY + 1 3621 2.71054405 -1.39217165 155.302734 -79.765560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39189889--1.39217165) × R
    0.000272760000000094 × 6371000     		dl = 1737.7539600006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39189889--1.39217165) × R
    0.000272760000000094 × 6371000     		dr = 1737.7539600006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70901007-2.71054405) × cos(-1.39189889) × R
    0.00153398000000005 × 0.177944714972114 × 6371000     		do = 1739.05131140445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70901007-2.71054405) × cos(-1.39217165) × R
    0.00153398000000005 × 0.177676301473069 × 6371000     		du = 1736.42810988038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39189889)-sin(-1.39217165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177944714972114-0.177676301473069)×R²
    abs(2.71054405-2.70901007)×0.000268413499045494×R²
    0.00153398000000005×0.000268413499045494×6371000²
    0.00153398000000005×0.000268413499045494×40589641000000     		ar = 3019764.08234595m²