Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38137 / 29961
↖ ↑ ↗
← N 15.236490°
E 29.492798°		 ← 589.32 m → N 15.236490°
E 29.498291°		 →
↑
589.32 m
↓
↑
589.32 m
↓
N 15.231190°
E 29.492798°		 ← 589.33 m →
347 300 m²		 N 15.231190°
E 29.498291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581932067871094 y=0.457176208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581932067871094 × 216)
    floor (0.581932067871094 × 65536)
    floor (38137.5)     		tx = 38137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457176208496094 × 216)
    floor (0.457176208496094 × 65536)
    floor (29961.5)     		ty = 29961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38137 / 29961 ti = "16/38137/29961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38137/29961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38137 ÷ 216
    38137 ÷ 65536     		x = 0.581924438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29961 ÷ 216
    29961 ÷ 65536     		y = 0.457168579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581924438476562 × 2 - 1) × π
    0.163848876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51474643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457168579101562 × 2 - 1) × π
    0.085662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.269117754466995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51474643} λ = 0.51474643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269117754466995))-π/2
    2×atan(1.30880925010842)-π/2
    2×0.918361620533332-π/2
    1.83672324106666-1.57079632675     		φ = 0.26592691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51474643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.492798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26592691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.236490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38137 KachelY 29961 0.51474643 0.26592691 29.492798 15.236490
    Oben rechts KachelX + 1 38138 KachelY 29961 0.51484230 0.26592691 29.498291 15.236490
    Unten links KachelX 38137 KachelY + 1 29962 0.51474643 0.26583441 29.492798 15.231190
    Unten rechts KachelX + 1 38138 KachelY + 1 29962 0.51484230 0.26583441 29.498291 15.231190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26592691-0.26583441) × R
    9.24999999999954e-05 × 6371000     		dl = 589.31749999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26592691-0.26583441) × R
    9.24999999999954e-05 × 6371000     		dr = 589.31749999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51474643-0.51484230) × cos(0.26592691) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964849320010909 × 6371000     		do = 589.318164555467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51474643-0.51484230) × cos(0.26583441) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964873625226248 × 6371000     		du = 589.333009883743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26592691)-sin(0.26583441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964849320010909-0.964873625226248)×R²
    abs(0.51484230-0.51474643)×2.43052153388046e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.43052153388046e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.43052153388046e-05×40589641000000     		ar = 347299.881993797m²