Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38137 / 29305
↖ ↑ ↗
← N 18.682675°
E 29.492798°		 ← 578.60 m → N 18.682675°
E 29.498291°		 →
↑
578.61 m
↓
↑
578.61 m
↓
N 18.677471°
E 29.492798°		 ← 578.62 m →
334 793 m²		 N 18.677471°
E 29.498291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581932067871094 y=0.447166442871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581932067871094 × 216)
    floor (0.581932067871094 × 65536)
    floor (38137.5)     		tx = 38137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447166442871094 × 216)
    floor (0.447166442871094 × 65536)
    floor (29305.5)     		ty = 29305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38137 / 29305 ti = "16/38137/29305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38137/29305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38137 ÷ 216
    38137 ÷ 65536     		x = 0.581924438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29305 ÷ 216
    29305 ÷ 65536     		y = 0.447158813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581924438476562 × 2 - 1) × π
    0.163848876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51474643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447158813476562 × 2 - 1) × π
    0.105682373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.332010966768509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51474643} λ = 0.51474643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.332010966768509))-π/2
    2×atan(1.39376813356118)-π/2
    2×0.948435259763374-π/2
    1.89687051952675-1.57079632675     		φ = 0.32607419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51474643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.492798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32607419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.682675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38137 KachelY 29305 0.51474643 0.32607419 29.492798 18.682675
    Oben rechts KachelX + 1 38138 KachelY 29305 0.51484230 0.32607419 29.498291 18.682675
    Unten links KachelX 38137 KachelY + 1 29306 0.51474643 0.32598337 29.492798 18.677471
    Unten rechts KachelX + 1 38138 KachelY + 1 29306 0.51484230 0.32598337 29.498291 18.677471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32607419-0.32598337) × R
    9.08199999999915e-05 × 6371000     		dl = 578.614219999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32607419-0.32598337) × R
    9.08199999999915e-05 × 6371000     		dr = 578.614219999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51474643-0.51484230) × cos(0.32607419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947307181436573 × 6371000     		do = 578.603640854617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51474643-0.51484230) × cos(0.32598337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94733626958774 × 6371000     		du = 578.621407541602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32607419)-sin(0.32598337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947307181436573-0.94733626958774)×R²
    abs(0.51484230-0.51474643)×2.90881511675334e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90881511675334e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90881511675334e-05×40589641000000     		ar = 334793.434601259m²