Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38132 / 29300
↖ ↑ ↗
← N 18.708692°
E 29.465332°		 ← 578.51 m → N 18.708692°
E 29.470825°		 →
↑
578.55 m
↓
↑
578.55 m
↓
N 18.703489°
E 29.465332°		 ← 578.53 m →
334 705 m²		 N 18.703489°
E 29.470825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581855773925781 y=0.447090148925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581855773925781 × 216)
    floor (0.581855773925781 × 65536)
    floor (38132.5)     		tx = 38132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447090148925781 × 216)
    floor (0.447090148925781 × 65536)
    floor (29300.5)     		ty = 29300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38132 / 29300 ti = "16/38132/29300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38132/29300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38132 ÷ 216
    38132 ÷ 65536     		x = 0.58184814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29300 ÷ 216
    29300 ÷ 65536     		y = 0.44708251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58184814453125 × 2 - 1) × π
    0.1636962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51426706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44708251953125 × 2 - 1) × π
    0.1058349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.332490335764709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51426706} λ = 0.51426706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.332490335764709))-π/2
    2×atan(1.39443642295811)-π/2
    2×0.948662297169923-π/2
    1.89732459433985-1.57079632675     		φ = 0.32652827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51426706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.465332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32652827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.708692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38132 KachelY 29300 0.51426706 0.32652827 29.465332 18.708692
    Oben rechts KachelX + 1 38133 KachelY 29300 0.51436293 0.32652827 29.470825 18.708692
    Unten links KachelX 38132 KachelY + 1 29301 0.51426706 0.32643746 29.465332 18.703489
    Unten rechts KachelX + 1 38133 KachelY + 1 29301 0.51436293 0.32643746 29.470825 18.703489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32652827-0.32643746) × R
    9.08099999999967e-05 × 6371000     		dl = 578.550509999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32652827-0.32643746) × R
    9.08099999999967e-05 × 6371000     		dr = 578.550509999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51426706-0.51436293) × cos(0.32652827) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947161629895954 × 6371000     		do = 578.514739753703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51426706-0.51436293) × cos(0.32643746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947190753904533 × 6371000     		du = 578.532528341956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32652827)-sin(0.32643746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947161629895954-0.947190753904533)×R²
    abs(0.51436293-0.51426706)×2.91240085782407e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91240085782407e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91240085782407e-05×40589641000000     		ar = 334705.143755462m²