Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38131 / 29892
↖ ↑ ↗
← N 15.601875°
E 29.459839°		 ← 588.28 m → N 15.601875°
E 29.465332°		 →
↑
588.36 m
↓
↑
588.36 m
↓
N 15.596584°
E 29.459839°		 ← 588.30 m →
346 127 m²		 N 15.596584°
E 29.465332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581840515136719 y=0.456123352050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581840515136719 × 216)
    floor (0.581840515136719 × 65536)
    floor (38131.5)     		tx = 38131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456123352050781 × 216)
    floor (0.456123352050781 × 65536)
    floor (29892.5)     		ty = 29892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38131 / 29892 ti = "16/38131/29892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38131/29892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38131 ÷ 216
    38131 ÷ 65536     		x = 0.581832885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29892 ÷ 216
    29892 ÷ 65536     		y = 0.45611572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581832885742188 × 2 - 1) × π
    0.163665771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51417119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45611572265625 × 2 - 1) × π
    0.0877685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.275733046614563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51417119} λ = 0.51417119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.275733046614563))-π/2
    2×atan(1.31749610703196)-π/2
    2×0.9215502064353-π/2
    1.8431004128706-1.57079632675     		φ = 0.27230409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51417119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.459839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27230409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.601875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38131 KachelY 29892 0.51417119 0.27230409 29.459839 15.601875
    Oben rechts KachelX + 1 38132 KachelY 29892 0.51426706 0.27230409 29.465332 15.601875
    Unten links KachelX 38131 KachelY + 1 29893 0.51417119 0.27221174 29.459839 15.596584
    Unten rechts KachelX + 1 38132 KachelY + 1 29893 0.51426706 0.27221174 29.465332 15.596584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27230409-0.27221174) × R
    9.23500000000188e-05 × 6371000     		dl = 588.36185000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27230409-0.27221174) × R
    9.23500000000188e-05 × 6371000     		dr = 588.36185000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51417119-0.51426706) × cos(0.27230409) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.963153765426565 × 6371000     		do = 588.282540551982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51417119-0.51426706) × cos(0.27221174) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.963178598975786 × 6371000     		du = 588.297708580132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27230409)-sin(0.27221174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963153765426565-0.963178598975786)×R²
    abs(0.51426706-0.51417119)×2.4833549221448e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.4833549221448e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.4833549221448e-05×40589641000000     		ar = 346127.466272332m²