Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38131 / 29678
↖ ↑ ↗
← N 16.730907°
E 29.459839°		 ← 584.93 m → N 16.730907°
E 29.465332°		 →
↑
584.99 m
↓
↑
584.99 m
↓
N 16.725646°
E 29.459839°		 ← 584.95 m →
342 181 m²		 N 16.725646°
E 29.465332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581840515136719 y=0.452857971191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581840515136719 × 216)
    floor (0.581840515136719 × 65536)
    floor (38131.5)     		tx = 38131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452857971191406 × 216)
    floor (0.452857971191406 × 65536)
    floor (29678.5)     		ty = 29678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38131 / 29678 ti = "16/38131/29678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38131/29678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38131 ÷ 216
    38131 ÷ 65536     		x = 0.581832885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29678 ÷ 216
    29678 ÷ 65536     		y = 0.452850341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581832885742188 × 2 - 1) × π
    0.163665771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51417119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452850341796875 × 2 - 1) × π
    0.09429931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.296250039651947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51417119} λ = 0.51417119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.296250039651947))-π/2
    2×atan(1.34480636971364)-π/2
    2×0.93140286681063-π/2
    1.86280573362126-1.57079632675     		φ = 0.29200941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51417119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.459839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29200941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.730907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38131 KachelY 29678 0.51417119 0.29200941 29.459839 16.730907
    Oben rechts KachelX + 1 38132 KachelY 29678 0.51426706 0.29200941 29.465332 16.730907
    Unten links KachelX 38131 KachelY + 1 29679 0.51417119 0.29191759 29.459839 16.725646
    Unten rechts KachelX + 1 38132 KachelY + 1 29679 0.51426706 0.29191759 29.465332 16.725646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29200941-0.29191759) × R
    9.18200000000202e-05 × 6371000     		dl = 584.985220000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29200941-0.29191759) × R
    9.18200000000202e-05 × 6371000     		dr = 584.985220000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51417119-0.51426706) × cos(0.29200941) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.957667346075051 × 6371000     		do = 584.931502710986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51417119-0.51426706) × cos(0.29191759) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.957693774918044 × 6371000     		du = 584.947645125061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29200941)-sin(0.29191759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957667346075051-0.957693774918044)×R²
    abs(0.51426706-0.51417119)×2.64288429937531e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.64288429937531e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.64288429937531e-05×40589641000000     		ar = 342181.005575724m²