Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3813 / 3038
↖ ↑ ↗
← N 74.223934°
W 96.218262°		 ← 664.27 m → N 74.223934°
W 96.196289°		 →
↑
664.37 m
↓
↑
664.37 m
↓
N 74.217960°
W 96.218262°		 ← 664.52 m →
441 404 m²		 N 74.217960°
W 96.196289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.232757568359375 y=0.185455322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.232757568359375 × 214)
    floor (0.232757568359375 × 16384)
    floor (3813.5)     		tx = 3813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185455322265625 × 214)
    floor (0.185455322265625 × 16384)
    floor (3038.5)     		ty = 3038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3813 / 3038 ti = "14/3813/3038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3813/3038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3813 ÷ 214
    3813 ÷ 16384     		x = 0.23272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3038 ÷ 214
    3038 ÷ 16384     		y = 0.1854248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.23272705078125 × 2 - 1) × π
    -0.5345458984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.67932547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1854248046875 × 2 - 1) × π
    0.629150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.97653424513416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67932547} λ = -1.67932547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97653424513416))-π/2
    2×atan(7.21768486115777)-π/2
    2×1.43312418555446-π/2
    2.86624837110891-1.57079632675     		φ = 1.29545204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67932547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.218262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29545204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.223934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3813 KachelY 3038 -1.67932547 1.29545204 -96.218262 74.223934
    Oben rechts KachelX + 1 3814 KachelY 3038 -1.67894197 1.29545204 -96.196289 74.223934
    Unten links KachelX 3813 KachelY + 1 3039 -1.67932547 1.29534776 -96.218262 74.217960
    Unten rechts KachelX + 1 3814 KachelY + 1 3039 -1.67894197 1.29534776 -96.196289 74.217960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29545204-1.29534776) × R
    0.000104279999999957 × 6371000     		dl = 664.367879999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29545204-1.29534776) × R
    0.000104279999999957 × 6371000     		dr = 664.367879999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67932547--1.67894197) × cos(1.29545204) × R
    0.000383500000000092 × 0.271878271142496 × 6371000     		do = 664.27433449979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67932547--1.67894197) × cos(1.29534776) × R
    0.000383500000000092 × 0.271978621608589 × 6371000     		du = 664.519518636061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29545204)-sin(1.29534776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.271878271142496-0.271978621608589)×R²
    abs(-1.67894197--1.67932547)×0.000100350466093635×R²
    0.000383500000000092×0.000100350466093635×6371000²
    0.000383500000000092×0.000100350466093635×40589641000000     		ar = 441403.977982207m²