Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38129 / 29939
↖ ↑ ↗
← N 15.353059°
E 29.448853°		 ← 588.99 m → N 15.353059°
E 29.454346°		 →
↑
589 m
↓
↑
589 m
↓
N 15.347762°
E 29.448853°		 ← 589.01 m →
346 919 m²		 N 15.347762°
E 29.454346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581809997558594 y=0.456840515136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581809997558594 × 216)
    floor (0.581809997558594 × 65536)
    floor (38129.5)     		tx = 38129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456840515136719 × 216)
    floor (0.456840515136719 × 65536)
    floor (29939.5)     		ty = 29939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38129 / 29939 ti = "16/38129/29939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38129/29939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38129 ÷ 216
    38129 ÷ 65536     		x = 0.581802368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29939 ÷ 216
    29939 ÷ 65536     		y = 0.456832885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581802368164062 × 2 - 1) × π
    0.163604736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51397944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456832885742188 × 2 - 1) × π
    0.086334228515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.271226978050278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51397944} λ = 0.51397944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.271226978050278))-π/2
    2×atan(1.31157273482381)-π/2
    2×0.919378879334792-π/2
    1.83875775866958-1.57079632675     		φ = 0.26796143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51397944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.448853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26796143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.353059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38129 KachelY 29939 0.51397944 0.26796143 29.448853 15.353059
    Oben rechts KachelX + 1 38130 KachelY 29939 0.51407531 0.26796143 29.454346 15.353059
    Unten links KachelX 38129 KachelY + 1 29940 0.51397944 0.26786898 29.448853 15.347762
    Unten rechts KachelX + 1 38130 KachelY + 1 29940 0.51407531 0.26786898 29.454346 15.347762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26796143-0.26786898) × R
    9.24500000000217e-05 × 6371000     		dl = 588.998950000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26796143-0.26786898) × R
    9.24500000000217e-05 × 6371000     		dr = 588.998950000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51397944-0.51407531) × cos(0.26796143) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964312644090904 × 6371000     		do = 588.990369467074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51397944-0.51407531) × cos(0.26786898) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.964337117602237 × 6371000     		du = 589.005317588485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26796143)-sin(0.26786898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964312644090904-0.964337117602237)×R²
    abs(0.51407531-0.51397944)×2.44735113327232e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.44735113327232e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.44735113327232e-05×40589641000000     		ar = 346919.111637302m²