Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38128 / 29680
↖ ↑ ↗
← N 16.720385°
E 29.443359°		 ← 585.02 m → N 16.720385°
E 29.448853°		 →
↑
584.99 m
↓
↑
584.99 m
↓
N 16.715124°
E 29.443359°		 ← 585.04 m →
342 236 m²		 N 16.715124°
E 29.448853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581794738769531 y=0.452888488769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581794738769531 × 216)
    floor (0.581794738769531 × 65536)
    floor (38128.5)     		tx = 38128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452888488769531 × 216)
    floor (0.452888488769531 × 65536)
    floor (29680.5)     		ty = 29680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38128 / 29680 ti = "16/38128/29680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38128/29680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38128 ÷ 216
    38128 ÷ 65536     		x = 0.581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29680 ÷ 216
    29680 ÷ 65536     		y = 0.452880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581787109375 × 2 - 1) × π
    0.16357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51388356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452880859375 × 2 - 1) × π
    0.09423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.296058292053467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51388356} λ = 0.51388356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.296058292053467))-π/2
    2×atan(1.34454853104259)-π/2
    2×0.931311049070047-π/2
    1.86262209814009-1.57079632675     		φ = 0.29182577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51388356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.443359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29182577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.720385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38128 KachelY 29680 0.51388356 0.29182577 29.443359 16.720385
    Oben rechts KachelX + 1 38129 KachelY 29680 0.51397944 0.29182577 29.448853 16.720385
    Unten links KachelX 38128 KachelY + 1 29681 0.51388356 0.29173395 29.443359 16.715124
    Unten rechts KachelX + 1 38129 KachelY + 1 29681 0.51397944 0.29173395 29.448853 16.715124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29182577-0.29173395) × R
    9.18199999999647e-05 × 6371000     		dl = 584.985219999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29182577-0.29173395) × R
    9.18199999999647e-05 × 6371000     		dr = 584.985219999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51388356-0.51397944) × cos(0.29182577) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.957720195686806 × 6371000     		do = 585.024798960791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51388356-0.51397944) × cos(0.29173395) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.957746608381112 × 6371000     		du = 585.040933194199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29182577)-sin(0.29173395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957720195686806-0.957746608381112)×R²
    abs(0.51397944-0.51388356)×2.64126943063658e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.64126943063658e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.64126943063658e-05×40589641000000     		ar = 342235.580109827m²