Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38128 / 29232
↖ ↑ ↗
← N 19.062118°
E 29.443359°		 ← 577.36 m → N 19.062118°
E 29.448853°		 →
↑
577.34 m
↓
↑
577.34 m
↓
N 19.056926°
E 29.443359°		 ← 577.37 m →
333 336 m²		 N 19.056926°
E 29.448853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581794738769531 y=0.446052551269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581794738769531 × 216)
    floor (0.581794738769531 × 65536)
    floor (38128.5)     		tx = 38128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446052551269531 × 216)
    floor (0.446052551269531 × 65536)
    floor (29232.5)     		ty = 29232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38128 / 29232 ti = "16/38128/29232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38128/29232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38128 ÷ 216
    38128 ÷ 65536     		x = 0.581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29232 ÷ 216
    29232 ÷ 65536     		y = 0.446044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581787109375 × 2 - 1) × π
    0.16357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51388356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446044921875 × 2 - 1) × π
    0.10791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.339009754113037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51388356} λ = 0.51388356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339009754113037))-π/2
    2×atan(1.40355703559994)-π/2
    2×0.951746523128181-π/2
    1.90349304625636-1.57079632675     		φ = 0.33269672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51388356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.443359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33269672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.062118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38128 KachelY 29232 0.51388356 0.33269672 29.443359 19.062118
    Oben rechts KachelX + 1 38129 KachelY 29232 0.51397944 0.33269672 29.448853 19.062118
    Unten links KachelX 38128 KachelY + 1 29233 0.51388356 0.33260610 29.443359 19.056926
    Unten rechts KachelX + 1 38129 KachelY + 1 29233 0.51397944 0.33260610 29.448853 19.056926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33269672-0.33260610) × R
    9.06199999999857e-05 × 6371000     		dl = 577.340019999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33269672-0.33260610) × R
    9.06199999999857e-05 × 6371000     		dr = 577.340019999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51388356-0.51397944) × cos(0.33269672) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.945165051322812 × 6371000     		do = 577.355470444437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51388356-0.51397944) × cos(0.33260610) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.945194643304878 × 6371000     		du = 577.373546750478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33269672)-sin(0.33260610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945165051322812-0.945194643304878)×R²
    abs(0.51397944-0.51388356)×2.95919820662016e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.95919820662016e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.95919820662016e-05×40589641000000     		ar = 333335.637169057m²