Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38127 / 30767
↖ ↑ ↗
← N 10.925011°
E 29.437866°		 ← 599.72 m → N 10.925011°
E 29.443359°		 →
↑
599.77 m
↓
↑
599.77 m
↓
N 10.919618°
E 29.437866°		 ← 599.73 m →
359 694 m²		 N 10.919618°
E 29.443359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581779479980469 y=0.469474792480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581779479980469 × 216)
    floor (0.581779479980469 × 65536)
    floor (38127.5)     		tx = 38127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469474792480469 × 216)
    floor (0.469474792480469 × 65536)
    floor (30767.5)     		ty = 30767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38127 / 30767 ti = "16/38127/30767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38127/30767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38127 ÷ 216
    38127 ÷ 65536     		x = 0.581771850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30767 ÷ 216
    30767 ÷ 65536     		y = 0.469467163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581771850585938 × 2 - 1) × π
    0.163543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51378769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469467163085938 × 2 - 1) × π
    0.061065673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.191843472279465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51378769} λ = 0.51378769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.191843472279465))-π/2
    2×atan(1.21148087178359)-π/2
    2×0.880736873404911-π/2
    1.76147374680982-1.57079632675     		φ = 0.19067742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51378769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.437866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19067742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.925011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38127 KachelY 30767 0.51378769 0.19067742 29.437866 10.925011
    Oben rechts KachelX + 1 38128 KachelY 30767 0.51388356 0.19067742 29.443359 10.925011
    Unten links KachelX 38127 KachelY + 1 30768 0.51378769 0.19058328 29.437866 10.919618
    Unten rechts KachelX + 1 38128 KachelY + 1 30768 0.51388356 0.19058328 29.443359 10.919618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19067742-0.19058328) × R
    9.41399999999926e-05 × 6371000     		dl = 599.765939999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19067742-0.19058328) × R
    9.41399999999926e-05 × 6371000     		dr = 599.765939999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51378769-0.51388356) × cos(0.19067742) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98187607301461 × 6371000     		do = 599.717897052937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51378769-0.51388356) × cos(0.19058328) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9818939104607 × 6371000     		du = 599.728791946857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19067742)-sin(0.19058328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98187607301461-0.9818939104607)×R²
    abs(0.51388356-0.51378769)×1.78374460900743e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.78374460900743e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.78374460900743e-05×40589641000000     		ar = 359693.635719569m²