Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38126 / 29974
↖ ↑ ↗
← N 15.167578°
E 29.432373°		 ← 589.51 m → N 15.167578°
E 29.437866°		 →
↑
589.57 m
↓
↑
589.57 m
↓
N 15.162276°
E 29.432373°		 ← 589.53 m →
347 564 m²		 N 15.162276°
E 29.437866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581764221191406 y=0.457374572753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581764221191406 × 216)
    floor (0.581764221191406 × 65536)
    floor (38126.5)     		tx = 38126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457374572753906 × 216)
    floor (0.457374572753906 × 65536)
    floor (29974.5)     		ty = 29974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38126 / 29974 ti = "16/38126/29974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38126/29974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38126 ÷ 216
    38126 ÷ 65536     		x = 0.581756591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29974 ÷ 216
    29974 ÷ 65536     		y = 0.457366943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581756591796875 × 2 - 1) × π
    0.16351318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51369182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457366943359375 × 2 - 1) × π
    0.08526611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.267871395076874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51369182} λ = 0.51369182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267871395076874))-π/2
    2×atan(1.30717901954729)-π/2
    2×0.917760247690141-π/2
    1.83552049538028-1.57079632675     		φ = 0.26472417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51369182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.432373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26472417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.167578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38126 KachelY 29974 0.51369182 0.26472417 29.432373 15.167578
    Oben rechts KachelX + 1 38127 KachelY 29974 0.51378769 0.26472417 29.437866 15.167578
    Unten links KachelX 38126 KachelY + 1 29975 0.51369182 0.26463163 29.432373 15.162276
    Unten rechts KachelX + 1 38127 KachelY + 1 29975 0.51378769 0.26463163 29.437866 15.162276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26472417-0.26463163) × R
    9.25399999999743e-05 × 6371000     		dl = 589.572339999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26472417-0.26463163) × R
    9.25399999999743e-05 × 6371000     		dr = 589.572339999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51369182-0.51378769) × cos(0.26472417) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965164706600673 × 6371000     		do = 589.510798827317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51369182-0.51378769) × cos(0.26463163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965188914916441 × 6371000     		du = 589.52558497052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26472417)-sin(0.26463163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965164706600673-0.965188914916441)×R²
    abs(0.51378769-0.51369182)×2.42083157675488e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.42083157675488e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.42083157675488e-05×40589641000000     		ar = 347563.620118346m²