Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38126 / 29262
↖ ↑ ↗
← N 18.906287°
E 29.432373°		 ← 577.84 m → N 18.906287°
E 29.437866°		 →
↑
577.85 m
↓
↑
577.85 m
↓
N 18.901090°
E 29.432373°		 ← 577.85 m →
333 907 m²		 N 18.901090°
E 29.437866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581764221191406 y=0.446510314941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581764221191406 × 216)
    floor (0.581764221191406 × 65536)
    floor (38126.5)     		tx = 38126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446510314941406 × 216)
    floor (0.446510314941406 × 65536)
    floor (29262.5)     		ty = 29262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38126 / 29262 ti = "16/38126/29262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38126/29262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38126 ÷ 216
    38126 ÷ 65536     		x = 0.581756591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29262 ÷ 216
    29262 ÷ 65536     		y = 0.446502685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581756591796875 × 2 - 1) × π
    0.16351318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51369182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446502685546875 × 2 - 1) × π
    0.10699462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.336133540135834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51369182} λ = 0.51369182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.336133540135834))-π/2
    2×atan(1.39952590521212)-π/2
    2×0.950386637732397-π/2
    1.90077327546479-1.57079632675     		φ = 0.32997695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51369182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.432373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32997695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.906287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38126 KachelY 29262 0.51369182 0.32997695 29.432373 18.906287
    Oben rechts KachelX + 1 38127 KachelY 29262 0.51378769 0.32997695 29.437866 18.906287
    Unten links KachelX 38126 KachelY + 1 29263 0.51369182 0.32988625 29.432373 18.901090
    Unten rechts KachelX + 1 38127 KachelY + 1 29263 0.51378769 0.32988625 29.437866 18.901090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32997695-0.32988625) × R
    9.06999999999991e-05 × 6371000     		dl = 577.849699999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32997695-0.32988625) × R
    9.06999999999991e-05 × 6371000     		dr = 577.849699999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51369182-0.51378769) × cos(0.32997695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946049812468873 × 6371000     		do = 577.835655266769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51369182-0.51378769) × cos(0.32988625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946079197302337 × 6371000     		du = 577.853603163672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32997695)-sin(0.32988625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946049812468873-0.946079197302337)×R²
    abs(0.51378769-0.51369182)×2.93848334634861e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93848334634861e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93848334634861e-05×40589641000000     		ar = 333907.345867527m²