Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38123 / 29978
↖ ↑ ↗
← N 15.146369°
E 29.415893°		 ← 589.63 m → N 15.146369°
E 29.421387°		 →
↑
589.57 m
↓
↑
589.57 m
↓
N 15.141067°
E 29.415893°		 ← 589.65 m →
347 635 m²		 N 15.141067°
E 29.421387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581718444824219 y=0.457435607910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581718444824219 × 216)
    floor (0.581718444824219 × 65536)
    floor (38123.5)     		tx = 38123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457435607910156 × 216)
    floor (0.457435607910156 × 65536)
    floor (29978.5)     		ty = 29978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38123 / 29978 ti = "16/38123/29978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38123/29978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38123 ÷ 216
    38123 ÷ 65536     		x = 0.581710815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29978 ÷ 216
    29978 ÷ 65536     		y = 0.457427978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581710815429688 × 2 - 1) × π
    0.163421630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51340419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457427978515625 × 2 - 1) × π
    0.08514404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.267487899879913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51340419} λ = 0.51340419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.267487899879913))-π/2
    2×atan(1.30667781878191)-π/2
    2×0.917575170394601-π/2
    1.8351503407892-1.57079632675     		φ = 0.26435401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51340419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.415893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26435401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.146369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38123 KachelY 29978 0.51340419 0.26435401 29.415893 15.146369
    Oben rechts KachelX + 1 38124 KachelY 29978 0.51350007 0.26435401 29.421387 15.146369
    Unten links KachelX 38123 KachelY + 1 29979 0.51340419 0.26426147 29.415893 15.141067
    Unten rechts KachelX + 1 38124 KachelY + 1 29979 0.51350007 0.26426147 29.421387 15.141067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26435401-0.26426147) × R
    9.25399999999743e-05 × 6371000     		dl = 589.572339999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26435401-0.26426147) × R
    9.25399999999743e-05 × 6371000     		dr = 589.572339999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51340419-0.51350007) × cos(0.26435401) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.965261490269665 × 6371000     		do = 589.631409917844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51340419-0.51350007) × cos(0.26426147) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.965285665522023 × 6371000     		du = 589.646177406526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26435401)-sin(0.26426147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965261490269665-0.965285665522023)×R²
    abs(0.51350007-0.51340419)×2.4175252358094e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.4175252358094e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.4175252358094e-05×40589641000000     		ar = 347634.723582119m²