Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38122 / 29972
↖ ↑ ↗
← N 15.178181°
E 29.410400°		 ← 589.48 m → N 15.178181°
E 29.415893°		 →
↑
589.51 m
↓
↑
589.51 m
↓
N 15.172879°
E 29.410400°		 ← 589.50 m →
347 509 m²		 N 15.172879°
E 29.415893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581703186035156 y=0.457344055175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581703186035156 × 216)
    floor (0.581703186035156 × 65536)
    floor (38122.5)     		tx = 38122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457344055175781 × 216)
    floor (0.457344055175781 × 65536)
    floor (29972.5)     		ty = 29972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38122 / 29972 ti = "16/38122/29972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38122/29972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38122 ÷ 216
    38122 ÷ 65536     		x = 0.581695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29972 ÷ 216
    29972 ÷ 65536     		y = 0.45733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581695556640625 × 2 - 1) × π
    0.16339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51330832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45733642578125 × 2 - 1) × π
    0.0853271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.268063142675354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51330832} λ = 0.51330832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.268063142675354))-π/2
    2×atan(1.30742969201722)-π/2
    2×0.917852779375813-π/2
    1.83570555875163-1.57079632675     		φ = 0.26490923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51330832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.410400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26490923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.178181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38122 KachelY 29972 0.51330832 0.26490923 29.410400 15.178181
    Oben rechts KachelX + 1 38123 KachelY 29972 0.51340419 0.26490923 29.415893 15.178181
    Unten links KachelX 38122 KachelY + 1 29973 0.51330832 0.26481670 29.410400 15.172879
    Unten rechts KachelX + 1 38123 KachelY + 1 29973 0.51340419 0.26481670 29.415893 15.172879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26490923-0.26481670) × R
    9.25299999999796e-05 × 6371000     		dl = 589.50862999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26490923-0.26481670) × R
    9.25299999999796e-05 × 6371000     		dr = 589.50862999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51330832-0.51340419) × cos(0.26490923) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965116270409776 × 6371000     		do = 589.481214594291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51330832-0.51340419) × cos(0.26481670) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.965140492636895 × 6371000     		du = 589.496009234378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26490923)-sin(0.26481670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965116270409776-0.965140492636895)×R²
    abs(0.51340419-0.51330832)×2.42222271189529e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.42222271189529e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.42222271189529e-05×40589641000000     		ar = 347508.624258245m²