Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 38120 / 29259
↖ ↑ ↗
← N 18.921876°
E 29.399414°		 ← 577.84 m → N 18.921876°
E 29.404907°		 →
↑
577.79 m
↓
↑
577.79 m
↓
N 18.916680°
E 29.399414°		 ← 577.86 m →
333 874 m²		 N 18.916680°
E 29.404907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581672668457031 y=0.446464538574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581672668457031 × 216)
    floor (0.581672668457031 × 65536)
    floor (38120.5)     		tx = 38120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446464538574219 × 216)
    floor (0.446464538574219 × 65536)
    floor (29259.5)     		ty = 29259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38120 / 29259 ti = "16/38120/29259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38120/29259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38120 ÷ 216
    38120 ÷ 65536     		x = 0.5816650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29259 ÷ 216
    29259 ÷ 65536     		y = 0.446456909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5816650390625 × 2 - 1) × π
    0.163330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51311657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446456909179688 × 2 - 1) × π
    0.107086181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.336421161533554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51311657} λ = 0.51311657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.336421161533554))-π/2
    2×atan(1.39992849670331)-π/2
    2×0.950522683475948-π/2
    1.9010453669519-1.57079632675     		φ = 0.33024904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51311657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.399414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33024904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.921876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38120 KachelY 29259 0.51311657 0.33024904 29.399414 18.921876
    Oben rechts KachelX + 1 38121 KachelY 29259 0.51321245 0.33024904 29.404907 18.921876
    Unten links KachelX 38120 KachelY + 1 29260 0.51311657 0.33015835 29.399414 18.916680
    Unten rechts KachelX + 1 38121 KachelY + 1 29260 0.51321245 0.33015835 29.404907 18.916680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33024904-0.33015835) × R
    9.06900000000044e-05 × 6371000     		dl = 577.785990000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33024904-0.33015835) × R
    9.06900000000044e-05 × 6371000     		dr = 577.785990000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51311657-0.51321245) × cos(0.33024904) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.945961614516221 × 6371000     		do = 577.842052250713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51311657-0.51321245) × cos(0.33015835) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.945991019454181 × 6371000     		du = 577.860014300585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33024904)-sin(0.33015835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945961614516221-0.945991019454181)×R²
    abs(0.51321245-0.51311657)×2.9404937959665e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.9404937959665e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.9404937959665e-05×40589641000000     		ar = 333874.231562678m²