Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 38120 / 29211
↖ ↑ ↗
← N 19.171113°
E 29.399414°		 ← 576.97 m → N 19.171113°
E 29.404907°		 →
↑
576.96 m
↓
↑
576.96 m
↓
N 19.165924°
E 29.399414°		 ← 576.99 m →
332 895 m²		 N 19.165924°
E 29.404907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 38120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581672668457031 y=0.445732116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581672668457031 × 216)
    floor (0.581672668457031 × 65536)
    floor (38120.5)     		tx = 38120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445732116699219 × 216)
    floor (0.445732116699219 × 65536)
    floor (29211.5)     		ty = 29211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 38120 / 29211 ti = "16/38120/29211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/38120/29211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 38120 ÷ 216
    38120 ÷ 65536     		x = 0.5816650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29211 ÷ 216
    29211 ÷ 65536     		y = 0.445724487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5816650390625 × 2 - 1) × π
    0.163330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51311657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445724487304688 × 2 - 1) × π
    0.108551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.341023103897079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51311657} λ = 0.51311657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.341023103897079))-π/2
    2×atan(1.40638573347805)-π/2
    2×0.952697683730151-π/2
    1.9053953674603-1.57079632675     		φ = 0.33459904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51311657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.399414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33459904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.171113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 38120 KachelY 29211 0.51311657 0.33459904 29.399414 19.171113
    Oben rechts KachelX + 1 38121 KachelY 29211 0.51321245 0.33459904 29.404907 19.171113
    Unten links KachelX 38120 KachelY + 1 29212 0.51311657 0.33450848 29.399414 19.165924
    Unten rechts KachelX + 1 38121 KachelY + 1 29212 0.51321245 0.33450848 29.404907 19.165924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33459904-0.33450848) × R
    9.05600000000173e-05 × 6371000     		dl = 576.95776000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33459904-0.33450848) × R
    9.05600000000173e-05 × 6371000     		dr = 576.95776000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51311657-0.51321245) × cos(0.33459904) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.944542056999551 × 6371000     		do = 576.97491344071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51311657-0.51321245) × cos(0.33450848) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.94457179216757 × 6371000     		du = 576.993077212102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33459904)-sin(0.33450848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944542056999551-0.94457179216757)×R²
    abs(0.51321245-0.51311657)×2.97351680186297e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.97351680186297e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.97351680186297e-05×40589641000000     		ar = 332895.393726872m²