Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3812 / 3621
↖ ↑ ↗
← S 79.765560°
E155.039063°		 ← 1 736.43 m → S 79.765560°
E155.126953°		 →
↑
1 735.14 m
↓
↑
1 735.14 m
↓
S 79.781164°
E155.039063°		 ← 1 733.81 m →
3 010 677 m²		 S 79.781164°
E155.126953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9307861328125 y=0.8841552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9307861328125 × 212)
    floor (0.9307861328125 × 4096)
    floor (3812.5)     		tx = 3812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8841552734375 × 212)
    floor (0.8841552734375 × 4096)
    floor (3621.5)     		ty = 3621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3812 / 3621 ti = "12/3812/3621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3812/3621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3812 ÷ 212
    3812 ÷ 4096     		x = 0.9306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3621 ÷ 212
    3621 ÷ 4096     		y = 0.884033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9306640625 × 2 - 1) × π
    0.861328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.70594211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884033203125 × 2 - 1) × π
    -0.76806640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.41295177927515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.70594211} λ = 2.70594211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41295177927515))-π/2
    2×atan(0.0895505705428017)-π/2
    2×0.0893123380021784-π/2
    0.178624676004357-1.57079632675     		φ = -1.39217165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.70594211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39217165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.765560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3812 KachelY 3621 2.70594211 -1.39217165 155.039063 -79.765560
    Oben rechts KachelX + 1 3813 KachelY 3621 2.70747609 -1.39217165 155.126953 -79.765560
    Unten links KachelX 3812 KachelY + 1 3622 2.70594211 -1.39244400 155.039063 -79.781164
    Unten rechts KachelX + 1 3813 KachelY + 1 3622 2.70747609 -1.39244400 155.126953 -79.781164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39217165--1.39244400) × R
    0.000272349999999921 × 6371000     		dl = 1735.1418499995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39217165--1.39244400) × R
    0.000272349999999921 × 6371000     		dr = 1735.1418499995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.70594211-2.70747609) × cos(-1.39217165) × R
    0.00153398000000005 × 0.177676301473069 × 6371000     		do = 1736.42810988038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.70594211-2.70747609) × cos(-1.39244400) × R
    0.00153398000000005 × 0.177408278251583 × 6371000     		du = 1733.80872253368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39217165)-sin(-1.39244400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177676301473069-0.177408278251583)×R²
    abs(2.70747609-2.70594211)×0.000268023221485808×R²
    0.00153398000000005×0.000268023221485808×6371000²
    0.00153398000000005×0.000268023221485808×40589641000000     		ar = 3010676.5972748m²